在大学数学课程中，《概率论与数理统计》是一门非常重要的基础学科，它不仅为后续的专业学习奠定了坚实的理论基础，还广泛应用于科学研究、工程实践以及日常生活的决策过程中。为了帮助大家更好地掌握这门课程的核心知识点，本文将提供一些精选的习题及其详细解答。

一、单选题

1. 在一次实验中，事件A发生的概率是0.4，事件B发生的概率是0.5，且事件A和事件B相互独立，则事件A或事件B至少有一个发生的概率是多少？

A) 0.7

B) 0.8

C) 0.9

D) 1.0

解析： 根据概率的基本公式，事件A或事件B至少有一个发生的概率为：

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

由于事件A和事件B相互独立，所以有：

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.4 \times 0.5 = 0.2 \]

因此，

\[ P(A \cup B) = 0.4 + 0.5 - 0.2 = 0.7 \]

答案：A) 0.7

二、计算题

2. 某工厂生产的零件中有2%是次品。现从这批零件中随机抽取10个进行检测，求至少有1个次品的概率。

解析： 设事件A表示“至少有1个次品”，则其补事件为“没有次品”。设每次抽到次品的概率为p=0.02，则抽到合格品的概率为1-p=0.98。根据二项分布的性质，至少有1个次品的概率为：

\[ P(A) = 1 - C(10, 0) \cdot (0.98)^{10} \]

其中，\( C(10, 0) = 1 \)，所以：

\[ P(A) = 1 - (0.98)^{10} \approx 1 - 0.817 = 0.183 \]

答案：至少有1个次品的概率约为0.183。

三、应用题

3. 某种疾病的发病率为0.01。某医院对1000名患者进行了筛查，假设每位患者的检测结果相互独立，求检测出至少10名患者患有该疾病的可能性。

解析： 这是一个典型的泊松近似问题。当n较大而p较小时，可以用泊松分布来近似二项分布。这里n=1000，p=0.01，所以λ=np=10。设X表示检测出患病的人数，则X服从参数为λ=10的泊松分布。我们需要计算P(X≥10)，即：

\[ P(X \geq 10) = 1 - P(X < 10) = 1 - \sum_{k=0}^{9} \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]

通过计算可得：

\[ P(X \geq 10) \approx 1 - 0.4579 = 0.5421 \]

答案：检测出至少10名患者患有该疾病的可能性约为0.5421。

以上题目涵盖了概率论中的基本概念和方法，希望大家能够通过这些练习加深对相关知识的理解。同时，建议大家多做类似的习题，以提高解决实际问题的能力。