【导数的计算公式及求导法则】导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。掌握导数的计算公式和求导法则，有助于我们更好地分析函数的性质，解决实际问题。以下是对常见导数计算公式和求导法则的总结。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、求导法则
1. 四则运算法则
设 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 均可导，则：
| 运算 | 公式 |
| 加法 | $ (u + v)' = u' + v' $ |
| 减法 | $ (u - v)' = u' - v' $ |
| 乘法 | $ (uv)' = u'v + uv' $ |
| 除法 | $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $（$ v \neq 0 $） |
2. 链式法则（复合函数求导）
若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：
$$
(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
3. 反函数求导法则
若 $ y = f(x) $ 与其反函数 $ x = f^{-1}(y) $ 可导，且 $ f'(x) \neq 0 $，则：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}
$$
4. 隐函数求导
对于由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所确定的隐函数 $ y = y(x) $，可对两边同时对 $ x $ 求导，解出 $ \frac{dy}{dx} $。
三、常见函数的导数应用举例
- 多项式函数：如 $ f(x) = 3x^2 - 5x + 7 $，导数为 $ f'(x) = 6x - 5 $
- 三角函数组合：如 $ f(x) = \sin x \cdot \cos x $，导数为 $ f'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x $
- 指数与对数函数：如 $ f(x) = e^{2x} $，导数为 $ f'(x) = 2e^{2x} $
四、小结
导数的计算是微积分学习的基础内容，掌握好基本公式和求导法则，能够帮助我们在处理复杂函数时更加高效准确。无论是简单的多项式函数还是复杂的复合函数，都可以通过上述方法进行求导。熟练运用这些规则，有助于提升数学分析能力和解决实际问题的能力。
