【超几何分布的数学期望和方差的算法】在概率论与数理统计中，超几何分布是一种描述在不放回抽样中成功次数的概率分布。它常用于从有限总体中抽取样本时，计算某一类元素被抽中的概率。本文将对超几何分布的数学期望和方差进行总结，并以表格形式展示其计算公式。
一、超几何分布简介
超几何分布适用于以下情况：
- 总体中有 $ N $ 个元素；
- 其中 $ K $ 个是“成功”元素（如合格品）；
- 从中随机抽取 $ n $ 个样本，不放回；
- 设 $ X $ 表示这 $ n $ 个样本中“成功”元素的数量，则 $ X \sim \text{Hypergeometric}(N, K, n) $。
二、数学期望与方差的计算公式
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 数学期望 | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ | 表示在 $ n $ 次不放回抽样中，预期成功的次数为样本数乘以总体中成功的比例。 |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ | 方差考虑了不放回抽样的修正因子 $ \frac{N - n}{N - 1} $，使得结果更准确。 |
三、公式推导简要说明
1. 数学期望：
超几何分布的期望值类似于二项分布的期望，但需要考虑不放回抽样带来的影响。由于每次抽取后总体减少，因此期望值应根据实际比例进行调整。最终得到 $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $。
2. 方差：
超几何分布的方差比二项分布小，因为不放回抽样减少了样本之间的独立性。其方差公式中多了一个修正因子 $ \frac{N - n}{N - 1} $，这个因子也称为“有限总体校正因子”。
四、应用举例
假设一个工厂有 100 件产品，其中 20 件是次品。从中随机抽取 10 件，求次品数量的期望和方差：
- $ N = 100 $，$ K = 20 $，$ n = 10 $
- $ E(X) = 10 \times \frac{20}{100} = 2 $
- $ \text{Var}(X) = 10 \times \frac{20}{100} \times \left(1 - \frac{20}{100}\right) \times \frac{100 - 10}{100 - 1} = 1.456 $
五、总结
超几何分布的数学期望和方差是理解其统计特性的关键。通过上述公式，可以快速计算出在不放回抽样中某一类事件发生的平均值和波动程度。这些计算在质量控制、市场调研、抽样调查等领域具有广泛的应用价值。
表：超几何分布的期望与方差公式汇总
| 参数 | 数学期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 公式 | $ n \cdot \frac{K}{N} $ | $ n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ |
通过以上内容，我们不仅掌握了超几何分布的数学期望和方差的算法，也了解了其在实际问题中的应用方式。
