【arccosx的导数】在数学中，反三角函数的导数是微积分中的重要内容。其中，arccosx 是余弦函数的反函数，其导数在求解相关问题时具有广泛应用。本文将总结 arccosx 的导数，并通过表格形式清晰展示其推导过程与结果。
一、arccosx 导数的推导
设 $ y = \arccos x $，则根据反函数的定义，有：
$$
x = \cos y
$$
对两边关于 $ x $ 求导，得到：
$$
1 = -\sin y \cdot \frac{dy}{dx}
$$
因此，
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}
$$
由于 $ y = \arccos x $，所以 $ \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2} $。代入上式得：
$$
\frac{d}{dx} (\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
二、总结与表格展示
| 函数表达式 | 导数表达式 | 定义域 | 注意事项 |
| $ y = \arccos x $ | $ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ x \in [-1, 1] $ | 导数为负，说明函数在定义域内单调递减 |
三、结论
arccosx 的导数是 $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $，其定义域为 $ [-1, 1] $，且在整个区间内导数恒为负值，表明该函数是单调递减的。这一结论在计算曲线斜率、物理运动分析以及工程应用中具有重要意义。
