【幂级数展开式常用公式】在数学分析中，幂级数是一种重要的工具，广泛应用于函数的近似计算、微分方程求解以及函数的解析延拓等领域。通过对一些基本初等函数进行幂级数展开，可以更方便地进行运算和分析。以下是一些常见的幂级数展开式及其应用范围，以表格形式总结如下：
常用幂级数展开式汇总表
| 函数 | 幂级数展开式 | 收敛半径 | 适用范围 | ||
| $ e^x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | $ +\infty $ | 所有实数或复数 $ x $ | ||
| $ \sin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ +\infty $ | 所有实数或复数 $ x $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | $ +\infty $ | 所有实数或复数 $ x $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} $ | $ 1 $ | $ -1 < x \leq 1 $ | ||
| $ \arctan x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $ | $ 1 $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| $ \frac{1}{1-x} $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} x^n $ | $ 1 $ | $ | x | < 1 $ |
| $ (1+x)^k $（二项式展开） | $ \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n $ | $ 1 $ | $ | x | < 1 $，其中 $ k $ 为任意实数 |
| $ \sinh x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ +\infty $ | 所有实数或复数 $ x $ | ||
| $ \cosh x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | $ +\infty $ | 所有实数或复数 $ x $ |
总结说明
以上列出的幂级数展开式是数学中非常基础且常用的公式，尤其在微积分、物理和工程领域中具有广泛应用。它们不仅有助于理解函数的局部行为，还可以用于数值计算和理论推导。
需要注意的是，每种展开式的收敛区间可能不同，因此在实际应用时要特别注意其有效范围。例如，$ \ln(1+x) $ 只在 $ -1 < x \leq 1 $ 范围内成立，而 $ \frac{1}{1-x} $ 的收敛域为 $
此外，对于非整数指数的幂级数展开（如 $ (1+x)^k $），需要用到广义二项式定理，这在处理复杂函数时也十分有用。
掌握这些幂级数展开式，不仅可以提高对函数性质的理解，还能为后续学习傅里叶级数、拉普拉斯变换等高级内容打下坚实的基础。
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