【用增广矩阵求方程组】在解线性方程组时，增广矩阵是一种非常实用的工具。它将系数矩阵与常数项合并在一起，便于进行行变换操作，从而简化求解过程。本文将总结使用增广矩阵求解线性方程组的基本步骤，并通过表格形式展示典型例子。

一、基本概念

1. 线性方程组

一个由多个线性方程组成的系统，例如：

$$

\begin{cases}

2x + y = 5 \\

x - 3y = -2

\end{cases}

$$

2. 增广矩阵

将线性方程组的系数和常数项组合成一个矩阵，称为增广矩阵。对于上述方程组，其增广矩阵为：

$$

\left[\begin{array}{ccc}

2 & 1 & 5 \\

1 & -3 & -2

\end{array}\right

$$

二、求解步骤

使用增广矩阵求解线性方程组通常包括以下步骤：

1. 写出增广矩阵

2. 进行初等行变换（如交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的倍数）

3. 将矩阵化为行阶梯形或简化行阶梯形

4. 根据简化后的矩阵写出对应的方程组并求解

三、示例分析

我们以如下方程组为例：

$$

\begin{cases}

2x + y = 5 \\

x - 3y = -2

\end{cases}

$$

步骤1：写出增广矩阵

$$

\left[\begin{array}{ccc}

2 & 1 & 5 \\

1 & -3 & -2

\end{array}\right

$$

步骤2：进行行变换

- 将第2行乘以2，得到：$ [2, -6, -4] $

- 用新的第2行减去第1行，得到：

$$

\left[\begin{array}{ccc}

2 & 1 & 5 \\

0 & -7 & -9

\end{array}\right

$$

步骤3：继续化简

- 第2行除以 -7，得到：$ [0, 1, \frac{9}{7}] $

$$

\left[\begin{array}{ccc}

2 & 1 & 5 \\

0 & 1 & \frac{9}{7}

\end{array}\right

$$

- 用第2行减去第1行，得到：

$$

\left[\begin{array}{ccc}

2 & 0 & \frac{26}{7} \\

0 & 1 & \frac{9}{7}

\end{array}\right

$$

- 第1行除以2，得到：

$$

\left[\begin{array}{ccc}

1 & 0 & \frac{13}{7} \\

0 & 1 & \frac{9}{7}

\end{array}\right

$$

步骤4：写出解

从最后的矩阵中可得：

$$

x = \frac{13}{7}, \quad y = \frac{9}{7}

$$

四、总结表格

$$ 2 行变换（第2行×2） $$

\left[\begin{array}{ccc}

2 & 1 & 5 \\

2 & -6 & -4

\end{array}\right

$$ 3 行变换（第2行 - 第1行） $$

\left[\begin{array}{ccc}

2 & 1 & 5 \\

0 & -7 & -9

\end{array}\right

$$ 4 行变换（第2行 ÷ -7） $$

\left[\begin{array}{ccc}

2 & 1 & 5 \\

0 & 1 & \frac{9}{7}

\end{array}\right

$$ 5 行变换（第1行 - 第2行） $$

\left[\begin{array}{ccc}

2 & 0 & \frac{26}{7} \\

0 & 1 & \frac{9}{7}

\end{array}\right

$$ 6 行变换（第1行 ÷ 2） $$

\left[\begin{array}{ccc}

1 & 0 & \frac{13}{7} \\

0 & 1 & \frac{9}{7}

\end{array}\right

$$

五、注意事项

- 在进行行变换时，应尽量保持运算简洁，避免复杂分数。

- 若出现矛盾行（如 $0 = 1$），说明无解；若出现全零行，则可能有无穷多解。

- 增广矩阵适用于任何大小的线性方程组，尤其适合计算机辅助计算。

通过以上方法，我们可以高效地利用增广矩阵来求解线性方程组。掌握这一方法不仅有助于理解线性代数的基本原理，也能在实际问题中发挥重要作用。