在高等数学中，求解函数的导数是十分重要的基础技能之一。本文将详细推导反三角函数 \(\arctan x\) 的导数公式，并通过清晰的步骤展示其推导过程。
一、基本概念回顾
\(\arctan x\) 是正切函数 \(\tan y = x\) 的反函数，其中 \(y\) 的取值范围限定为 \(-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}\)。这意味着对于任意实数 \(x\)，都有一个唯一的 \(y = \arctan x\) 满足 \(\tan y = x\)。
二、导数定义的应用
根据导数的定义：
\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
\]
令 \(f(x) = \arctan x\)，则需要计算：
\[
\frac{d}{dx}[\arctan x] = \lim_{h \to 0} \frac{\arctan(x+h) - \arctan x}{h}
\]
三、利用三角恒等式简化
设 \(\arctan(x+h) = \alpha\) 和 \(\arctan x = \beta\)，则有：
\[
\tan \alpha = x+h, \quad \tan \beta = x
\]
由差角公式 \(\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}\)，可得：
\[
\tan(\alpha - \beta) = \frac{(x+h) - x}{1 + (x+h)x} = \frac{h}{1 + x^2 + hx}
\]
当 \(h \to 0\) 时，分子中的 \(hx\) 趋近于零，因此：
\[
\tan(\alpha - \beta) \approx \frac{h}{1 + x^2}
\]
四、极限计算
注意到 \(\alpha - \beta = \arctan(x+h) - \arctan x\)，因此：
\[
\frac{\arctan(x+h) - \arctan x}{h} \approx \frac{\tan(\alpha - \beta)}{h} = \frac{\frac{h}{1+x^2}}{h} = \frac{1}{1+x^2}
\]
取极限 \(h \to 0\) 后，得到：
\[
\frac{d}{dx}[\arctan x] = \frac{1}{1+x^2}
\]
五、结论
综上所述，反三角函数 \(\arctan x\) 的导数公式为：
\[
\boxed{\frac{d}{dx}[\arctan x] = \frac{1}{1+x^2}}
\]
此结果表明，\(\arctan x\) 的导数是一个非常简洁且具有规律性的表达式，广泛应用于微积分及相关领域的计算中。希望上述推导过程能够帮助读者加深对该公式的理解！
