在概率论与数理统计中，超几何分布是一种重要的离散型概率分布，常用于描述在不放回抽样情况下成功事件发生的次数。它与二项分布有相似之处，但最大的区别在于超几何分布的每次试验之间是不独立的，因为样本是从有限总体中抽取且不放回的。因此，在计算其数学期望和方差时，需要采用不同的方法。

一、超几何分布的基本定义

设一个总体中有 $ N $ 个个体，其中含有 $ K $ 个“成功”个体。从该总体中随机抽取 $ n $ 个个体（不放回），记其中“成功”的个数为随机变量 $ X $，则 $ X $ 服从参数为 $ (N, K, n) $ 的超几何分布，记作 $ X \sim \text{Hypergeometric}(N, K, n) $。

其概率质量函数为：

$$

P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}, \quad \text{其中 } k = 0, 1, 2, \ldots, \min(n, K)

$$

二、数学期望的推导与计算

对于超几何分布来说，数学期望 $ E(X) $ 表示在进行 $ n $ 次不放回抽样时，平均能抽到多少个“成功”个体。

根据超几何分布的性质，其数学期望为：

$$

E(X) = n \cdot \frac{K}{N}

$$

这个公式可以从直观上理解：如果总体中有 $ \frac{K}{N} $ 的比例是“成功”个体，那么在抽取 $ n $ 个样本时，期望的成功数量就是 $ n $ 乘以这个比例。

推导思路简述：

可以考虑将每个抽中的样本视为一个伯努利试验，但由于不放回，这些试验并不独立。然而，通过线性期望的性质，可以将 $ E(X) $ 分解为各个样本是否成功的期望之和，最终得到上述结果。

三、方差的推导与计算

方差 $ \text{Var}(X) $ 表示随机变量 $ X $ 在其均值周围的波动程度。对于超几何分布，方差的计算相对复杂一些，因为它要考虑不放回抽样的影响。

其方差公式为：

$$

\text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}

$$

其中，$ \frac{N - n}{N - 1} $ 是所谓的“有限总体校正因子”，用来调整由于不放回抽样带来的相关性。

方差公式的来源说明：

超几何分布的方差可以通过其协方差结构来推导。考虑到每个抽样结果之间的相关性，方差的表达式比二项分布多了一个校正因子，这反映了不放回抽样对变异的影响。

四、与二项分布的对比

在二项分布中，每次试验都是独立的，因此其方差为：

$$

\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)

$$

而超几何分布的方差则引入了有限总体校正因子，使得其方差通常小于相应的二项分布方差。当总体 $ N $ 很大时，这个校正因子接近于 1，此时超几何分布近似于二项分布。

五、实际应用中的意义

在实际问题中，如质量检测、抽样调查、生物统计等领域，超几何分布被广泛用于分析不放回抽样情况下的成功概率。了解其期望和方差有助于更好地预测和控制样本的变异性，从而提高统计推断的准确性。

总结：

超几何分布的数学期望和方差是其重要的统计特征，能够帮助我们理解在不放回抽样条件下，随机变量的集中趋势和离散程度。虽然其计算过程略显复杂，但通过合理的数学推导和实际应用背景的结合，可以更深入地掌握这一分布的本质。