【怎么求点到平面的距离】在三维几何中，点到平面的距离是一个常见的计算问题，广泛应用于数学、物理、工程等领域。掌握如何计算点到平面的距离，有助于解决实际问题，如空间定位、投影分析等。本文将总结点到平面距离的公式及计算方法，并以表格形式进行归纳。

一、点到平面距离的定义

设有一个点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 和一个平面 $ \pi $，其一般方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

点 $ P $ 到平面 $ \pi $ 的距离 $ d $ 是指从点 $ P $ 垂直投影到平面 $ \pi $ 所形成的线段长度。

二、点到平面距离的公式

点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 到平面 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的距离公式为：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中：

- $ A, B, C $ 是平面法向量的分量；

- $ D $ 是常数项；

- 分母是法向量的模长，用于归一化。

三、计算步骤

1. 确定点的坐标：写出点 $ P(x_0, y_0, z_0) $。

2. 写出平面方程：明确平面的一般式 $ Ax + By + Cz + D = 0 $。

3. 代入公式：将点的坐标和平面参数代入距离公式。

4. 计算结果：注意绝对值和分母的计算，确保结果为正值。

四、示例说明

假设点 $ P(1, 2, 3) $，平面方程为 $ 2x - 3y + 6z - 5 = 0 $。

代入公式：

$$

d = \frac{2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 - 5}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 + 18 - 5}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{9}{\sqrt{49}} = \frac{9}{7}

$$

所以，点到平面的距离为 $ \frac{9}{7} $。

五、常见问题与注意事项

六、总结

点到平面的距离计算是三维几何中的基础内容，掌握其公式和计算步骤对于理解空间关系具有重要意义。通过合理的代入和计算，可以快速得出准确的结果。建议在实际应用中注意公式的规范使用，避免因格式错误导致计算失误。

表格总结：点到平面距离计算方法

如需进一步了解点到平面的距离在实际中的应用，可结合具体案例进行分析。