【高中数学三角函数公式】在高中数学中，三角函数是重要的基础知识之一，广泛应用于几何、物理和工程等领域。掌握常见的三角函数公式，有助于提高解题效率与准确性。本文将对高中阶段常用的三角函数公式进行系统总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本概念
三角函数是基于直角三角形的边角关系定义的，主要包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）三种基本函数，以及它们的倒数函数：余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）。
二、基本三角函数公式
| 函数名称 | 定义式 | 常见值（角度制） |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 | sin(0°)=0, sin(30°)=1/2, sin(45°)=√2/2, sin(60°)=√3/2, sin(90°)=1 |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 | cos(0°)=1, cos(30°)=√3/2, cos(45°)=√2/2, cos(60°)=1/2, cos(90°)=0 |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 | tan(0°)=0, tan(30°)=1/√3, tan(45°)=1, tan(60°)=√3, tan(90°)=不存在 |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变化 | 公式表达 |
| sin(π - α) | sinα |
| cos(π - α) | -cosα |
| tan(π - α) | -tanα |
| sin(π + α) | -sinα |
| cos(π + α) | -cosα |
| tan(π + α) | tanα |
| sin(-α) | -sinα |
| cos(-α) | cosα |
| tan(-α) | -tanα |
四、同角三角函数关系
| 公式 | 表达式 |
| 平方关系 | sin²α + cos²α = 1 |
| 商数关系 | tanα = sinα / cosα |
| 倒数关系 | cotα = 1/tanα, secα = 1/cosα, cscα = 1/sinα |
五、和差角公式
| 公式类型 | 公式表达 |
| 正弦和差 | sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ |
| 余弦和差 | cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ |
| 正切和差 | tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ) |
六、倍角公式
| 公式类型 | 公式表达 |
| 正弦倍角 | sin2α = 2sinα cosα |
| 余弦倍角 | cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α |
| 正切倍角 | tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) |
七、半角公式
| 公式类型 | 公式表达 |
| 正弦半角 | sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2] |
| 余弦半角 | cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2] |
| 正切半角 | tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] = (sinα)/(1 + cosα) |
八、积化和差公式
| 公式类型 | 公式表达 |
| sinα cosβ | [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2 |
| cosα cosβ | [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2 |
| sinα sinβ | [cos(α - β) - cos(α + β)] / 2 |
九、和差化积公式
| 公式类型 | 公式表达 |
| sinA + sinB | 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
十、常用角度值表
| 角度（°） | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| 弧度（rad） | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
| sinα | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cosα | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tanα | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | 不存在 |
结语
掌握这些三角函数公式，不仅有助于解决数学题目，还能为后续学习解析几何、微积分等打下坚实基础。建议在学习过程中结合图形理解，并通过大量练习加深记忆与应用能力。
