【幂级数收敛域怎么求】在数学分析中，幂级数是一个非常重要的工具，广泛应用于函数展开、近似计算等领域。而幂级数的收敛域是研究其性质和应用的基础。掌握如何求幂级数的收敛域，对于理解其行为和用途至关重要。

下面是对“幂级数收敛域怎么求”的总结性内容，结合常见方法与步骤，以文字加表格的形式进行展示。

一、幂级数的基本形式

一个幂级数的一般形式为：

$$

\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n

$$

其中，$a_n$ 是系数，$x_0$ 是中心点，$x$ 是变量。

二、求幂级数收敛域的常用方法

三、求解步骤总结

1. 确定收敛半径 $R$

使用比值法或根值法计算收敛半径，得到收敛区间为 $(x_0 - R, x_0 + R)$。

2. 检查端点处的收敛性

分别代入 $x = x_0 + R$ 和 $x = x_0 - R$，判断级数在这些点是否收敛。

3. 写出最终的收敛域

根据端点的收敛性，确定收敛域是开区间、闭区间还是半开半闭区间。

四、示例解析

考虑幂级数：

$$

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x - 1)^n}{n}

$$

- 使用比值法：$\lim_{n \to \infty} \left \frac{a_{n+1}}{a_n} \right = \lim_{n \to \infty} \left \frac{n}{n+1} \right = 1$，所以 $R = 1$

- 收敛区间为 $(0, 2)$

- 检查端点：

- 当 $x = 0$，级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，是交错级数，收敛（莱布尼茨判别法）

- 当 $x = 2$，级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，发散（调和级数）

因此，收敛域为 $[0, 2)$

五、总结

通过以上方法和步骤，可以系统地求出幂级数的收敛域，为进一步分析其性质打下基础。