【求导公式大全】在数学学习中，导数是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握常见的求导公式，不仅能提高解题效率，还能加深对函数变化规律的理解。本文将总结常用的求导公式，并以表格形式进行清晰展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数公式 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
- $ y = \sin(3x) $，则 $ y' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
- $ y = (x^2 + 1)^5 $，则 $ y' = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4 $
三、四则运算的导数规则
设 $ u = u(x) $，$ v = v(x) $，则：
| 运算类型 | 导数公式 |
| 加法 | $ (u + v)' = u' + v' $ |
| 减法 | $ (u - v)' = u' - v' $ |
| 乘法 | $ (uv)' = u'v + uv' $ |
| 除法 | $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $（$ v \neq 0 $） |
四、高阶导数简介
高阶导数是指对原函数连续求导多次的结果。例如：
- 一阶导数：$ f'(x) $
- 二阶导数：$ f''(x) = [f'(x)]' $
- 三阶导数：$ f'''(x) = [f''(x)]' $
一般地，第 $ n $ 阶导数记为 $ f^{(n)}(x) $。
五、隐函数与参数方程的导数
1. 隐函数求导
若 $ F(x, y) = 0 $，则通过两边对 $ x $ 求导可得：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}
$$
2. 参数方程求导
若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad （\frac{dx}{dt} \neq 0）
$$
六、常见函数的导数表总结
| 函数类型 | 常见导数公式 |
| 多项式函数 | $ (x^n)' = nx^{n-1} $ |
| 指数函数 | $ (a^x)' = a^x \ln a $ |
| 对数函数 | $ (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} $ |
| 三角函数 | $ (\sin x)' = \cos x $, $ (\cos x)' = -\sin x $, 等 |
| 反三角函数 | $ (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $, $ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $, 等 |
七、结语
导数是研究函数变化率的重要工具，掌握其基本公式和应用方法对于数学学习至关重要。通过不断练习和实际应用，可以更加熟练地运用这些公式解决各类问题。希望本文能为你的学习提供帮助，也欢迎在实际应用中不断积累经验，提升自己的数学能力。
