【超几何分布列的数学期望和方差公式】在概率论与数理统计中，超几何分布是一种离散型概率分布，常用于描述在不放回抽样情况下，成功事件发生的次数的概率分布。它适用于从有限总体中抽取样本且不放回的情况，因此在实际应用中具有重要意义。

本文将对超几何分布的数学期望和方差进行总结，并通过表格形式清晰展示其计算公式及意义。

一、超几何分布的基本概念

超几何分布模型描述的是：从一个包含两种类型元素的总体中，随机抽取一定数量的样本，其中某一类元素出现的次数服从的分布。设总体中有 $ N $ 个元素，其中有 $ K $ 个是“成功”元素，其余为“失败”元素；从中抽取 $ n $ 个样本，不放回地抽取，则成功次数 $ X $ 服从参数为 $ (N, K, n) $ 的超几何分布，记作 $ X \sim H(N, K, n) $。

二、数学期望与方差公式

超几何分布的数学期望和方差是衡量该分布中心趋势和离散程度的重要指标。它们的计算公式如下：

三、公式推导简要说明

- 数学期望：由于每次抽样成功的概率为 $ \frac{K}{N} $，而抽样是不放回的，但期望值仍可以近似看作独立事件的期望之和，即 $ n \times \frac{K}{N} $。

- 方差：方差公式中多了一个修正因子 $ \frac{N - n}{N - 1} $，这是由于不放回抽样导致样本之间存在相关性，从而减小了方差。这个因子也被称为“有限总体校正因子”。

四、实际应用举例

假设有一个装有 50 个球的盒子，其中 20 个是红色球（成功），30 个是蓝色球（失败）。从中随机抽取 10 个球，不放回，求红球数量的期望和方差。

- 数学期望：$ E(X) = 10 \times \frac{20}{50} = 4 $

- 方差：$ Var(X) = 10 \times \frac{20}{50} \times \left(1 - \frac{20}{50}\right) \times \frac{50 - 10}{50 - 1} = 10 \times 0.4 \times 0.6 \times \frac{40}{49} \approx 1.96 $

五、总结

超几何分布是处理不放回抽样问题的重要工具，其数学期望和方差公式能够准确反映样本中成功事件的平均表现及其变异性。理解这些公式不仅有助于理论分析，还能在实际问题中提供有效的统计支持。

通过掌握这些公式，我们可以更好地理解和应用超几何分布于实际问题中。