【导数的求导法则】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握导数的求导法则，能够帮助我们快速、准确地计算复杂函数的导数。以下是对常见导数求导法则的总结，结合实例与公式，便于理解和应用。
一、基本求导法则
| 法则名称 | 公式表达 | 说明 |
| 常数法则 | $ \frac{d}{dx}[c] = 0 $ | 常数的导数为零 |
| 幂函数法则 | $ \frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} $ | $ n $ 为任意实数 |
| 和差法则 | $ \frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) $ | 导数的和差等于各函数导数的和差 |
| 积法则 | $ \frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ | 两个函数乘积的导数 |
| 商法则 | $ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ | 两个函数商的导数 |
| 链式法则 | $ \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数 |
二、常用函数的导数表
| 函数 | 导数 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ \sec x $ | $ \sec x \tan x $ |
| $ \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ |
三、实际应用举例
例1：
求函数 $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 7 $ 的导数。
解：
利用和差法则与幂函数法则：
$$
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5
$$
例2：
求函数 $ y = (x^2 + 1)(x^3 - 2) $ 的导数。
解：
使用积法则：
$$
y' = (2x)(x^3 - 2) + (x^2 + 1)(3x^2) = 2x^4 - 4x + 3x^4 + 3x^2 = 5x^4 + 3x^2 - 4x
$$
例3：
求函数 $ y = \sin(2x) $ 的导数。
解：
使用链式法则：
$$
y' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)
$$
四、小结
导数的求导法则不仅是微积分的基础内容，也是解决实际问题的重要工具。通过熟练掌握这些法则，可以高效地处理各种函数的导数计算。建议在学习过程中多做练习题，加深对规则的理解和应用能力。
