【什么是常微分方程】常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）是数学中研究函数与其导数之间关系的一类方程。它主要用于描述一个变量随另一个变量变化的规律，尤其在物理、工程、生物学和经济学等领域中有着广泛的应用。
常微分方程的基本形式是包含未知函数及其导数的方程，其中自变量只有一个。根据方程中导数的最高阶数，常微分方程可以分为一阶、二阶、高阶等类型。此外，根据方程是否线性，还可以分为线性与非线性方程。
以下是对常微分方程的一些关键概念进行总结，并通过表格形式展示其主要特征与分类：
| 概念 | 说明 |
| 定义 | 常微分方程是含有未知函数及其导数的方程，且只涉及一个独立变量。 |
| 变量 | 包含一个自变量（如时间 t）和一个或多个因变量（如 y(t)）。 |
| 阶数 | 方程中出现的最高阶导数的阶数，例如一阶、二阶等。 |
| 解 | 满足方程的函数称为该方程的解。解可能为通解（含任意常数）或特解（确定常数后）。 |
| 初值问题 | 给定初始条件（如 y(x₀)=y₀），求满足条件的解。 |
| 边界值问题 | 在区间两端给出条件，求满足条件的解。 |
| 线性方程 | 若方程关于未知函数及其导数是线性的，如 y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)。 |
| 非线性方程 | 若方程中含有未知函数或其导数的非线性项，如 y' = y² + x。 |
常微分方程在现实世界中有着非常重要的应用。例如：
- 物理学：描述物体运动的牛顿第二定律、振动系统等；
- 化学：描述化学反应速率的变化；
- 生物：模拟种群数量的增长或传染病传播；
- 经济：分析市场供需变化或投资回报率。
掌握常微分方程的知识，有助于我们理解和预测各种动态系统的演变过程。无论是理论研究还是实际应用，常微分方程都是不可或缺的工具之一。
