【什么是正交变换】正交变换是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理和工程等领域。它是一种保持向量长度和夹角不变的线性变换，具有良好的几何性质。正交变换在坐标系转换、信号处理、计算机图形学等方面有重要应用。
一、正交变换的定义
正交变换是指在欧几里得空间中，满足以下条件的线性变换：
设 $ T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n $ 是一个线性变换，若对于任意两个向量 $ \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n $，都有：
$$
\langle T(\mathbf{u}), T(\mathbf{v}) \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle
$$
其中 $ \langle \cdot, \cdot \rangle $ 表示内积（点积），则称 $ T $ 为正交变换。
等价地，正交变换可以表示为一个正交矩阵乘以向量，即：
$$
T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}
$$
其中 $ A $ 是一个正交矩阵，满足：
$$
A^T A = I \quad \text{且} \quad \det(A) = \pm1
$$
二、正交变换的性质
| 特性 | 描述 | ||||
| 保持长度 | 对于任意向量 $ \mathbf{x} $，有 $ \ | T(\mathbf{x})\ | = \ | \mathbf{x}\ | $ |
| 保持角度 | 向量之间的夹角在变换后保持不变 | ||||
| 可逆性 | 正交变换一定是可逆的，其逆变换也是正交的 | ||||
| 保持内积 | 任意两个向量的内积在变换前后相等 | ||||
| 矩阵形式 | 变换由正交矩阵表示，满足 $ A^T A = I $ |
三、常见的正交变换类型
| 类型 | 说明 | 示例 |
| 旋转 | 在平面上或空间中绕某一点或轴转动 | 二维旋转矩阵 $ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} $ |
| 反射 | 关于某直线或平面的对称变换 | 二维反射矩阵 $ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $ |
| 置换 | 交换坐标轴的位置 | 三维置换矩阵如 $ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $ |
| 组合变换 | 多种正交变换的组合 | 如旋转+反射 |
四、正交变换的应用
| 领域 | 应用场景 |
| 计算机图形学 | 图像旋转、缩放、翻转 |
| 信号处理 | 傅里叶变换、小波变换等 |
| 机器学习 | 数据降维、特征提取 |
| 物理学 | 旋转坐标系、惯性系转换 |
| 数值分析 | 解线性方程组、求解特征值问题 |
五、总结
正交变换是一种保持向量长度和夹角不变的线性变换，通常由正交矩阵表示。它在多个学科中具有广泛应用，尤其在需要保持几何结构不变的场合非常有用。理解正交变换的性质和应用场景，有助于深入掌握线性代数及相关领域的知识。
