在数学分析中，Stolz 定理是一个非常有用的工具，主要用于处理数列极限问题。它类似于洛必达法则在函数极限中的应用，但适用于离散的情况。本文将详细探讨 Stolz 定理的推导过程及其应用场景。
Stolz 定理的内容
设两个数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\)，满足以下条件：
1. 数列 \(\{b_n\}\) 是严格递增的（即 \(b_{n+1} > b_n\)）。
2. 数列 \(\{b_n\}\) 的极限为无穷大（即 \(\lim_{n \to \infty} b_n = +\infty\)）。
3. 数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\) 满足柯西收敛准则，即 \(\frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}\) 的极限存在或为无穷大。
那么，数列 \(\{\frac{a_n}{b_n}\}\) 的极限等于 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}\)。
推导过程
我们通过构造辅助数列来证明 Stolz 定理。设 \(c_n = \frac{a_n}{b_n}\)，我们需要证明 \(\lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}\)。
首先，注意到：
\[
c_{n+1} - c_n = \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} - \frac{a_n}{b_n} = \frac{a_{n+1}b_n - a_nb_{n+1}}{b_{n+1}b_n}.
\]
分子可以重写为：
\[
a_{n+1}b_n - a_nb_{n+1} = (a_{n+1} - a_n)b_n - a_n(b_{n+1} - b_n).
\]
因此，
\[
c_{n+1} - c_n = \frac{(a_{n+1} - a_n)b_n - a_n(b_{n+1} - b_n)}{b_{n+1}b_n}.
\]
分母 \(b_{n+1}b_n\) 趋于无穷大，而分子的第一项 \((a_{n+1} - a_n)b_n\) 的增长速度由 \(b_n\) 决定，第二项 \(-a_n(b_{n+1} - b_n)\) 的增长速度也由 \(b_{n+1} - b_n\) 决定。根据条件，\(\frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}\) 的极限存在，因此可以得出结论：
\[
\lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}.
\]
应用实例
考虑数列 \(\{a_n\} = n^2\) 和 \(\{b_n\} = n\)。显然，\(\{b_n\}\) 是严格递增且趋于无穷大的。我们计算：
\[
\frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \frac{(n+1)^2 - n^2}{(n+1) - n} = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2}{1} = 2n + 1.
\]
因此，\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} (2n + 1) = +\infty\)。
结论
Stolz 定理提供了一种有效的方法来求解数列极限问题，尤其是在处理分式形式的极限时。通过构造辅助数列和利用柯西收敛准则，我们可以清晰地推导出定理的成立条件及其应用范围。
希望本文能帮助读者更好地理解和应用 Stolz 定理。
