【频数的样本方差公式?】在统计学中，样本方差是衡量一组数据与其均值之间差异程度的重要指标。当数据以“频数”形式呈现时（即每个数值出现的次数），计算样本方差的方式与普通数据有所不同。本文将总结“频数的样本方差公式”，并以表格形式展示其计算步骤。
一、基本概念
- 频数：指某一数值在数据集中出现的次数。
- 样本方差：用于描述样本数据的离散程度，通常用 $ s^2 $ 表示。
- 频数分布表：将数据按数值分组，并列出各组的频数。
二、频数的样本方差公式
对于具有频数的数据集，样本方差的计算公式为：
$$
s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2
$$
其中：
- $ x_i $：第 $ i $ 组的数值（或组中值）；
- $ f_i $：第 $ i $ 组的频数；
- $ \bar{x} $：样本均值；
- $ n $：总样本容量（$ n = \sum f_i $）；
- $ k $：分组的个数。
三、计算步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定每组的数值 $ x_i $ 和对应的频数 $ f_i $ |
| 2 | 计算样本均值 $ \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} $ |
| 3 | 对每一组计算 $ (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 4 | 将每个 $ (x_i - \bar{x})^2 $ 乘以对应的频数 $ f_i $ |
| 5 | 求和所有 $ f_i (x_i - \bar{x})^2 $ 得到分子部分 |
| 6 | 除以 $ n - 1 $ 得到样本方差 $ s^2 $ |
四、示例说明
假设某班级学生身高数据如下（单位：厘米）：
| 身高（cm） | 频数（f） |
| 160 | 3 |
| 165 | 5 |
| 170 | 2 |
| 175 | 1 |
计算过程：
1. 求总样本容量
$ n = 3 + 5 + 2 + 1 = 11 $
2. 计算样本均值
$$
\bar{x} = \frac{3 \times 160 + 5 \times 165 + 2 \times 170 + 1 \times 175}{11} = \frac{1815}{11} = 165
$$
3. 计算每组的 $ (x_i - \bar{x})^2 $ 及其乘积：
| 身高（cm） | 频数（f） | $ x_i - \bar{x} $ | $ (x_i - \bar{x})^2 $ | $ f \times (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 160 | 3 | -5 | 25 | 75 |
| 165 | 5 | 0 | 0 | 0 |
| 170 | 2 | 5 | 25 | 50 |
| 175 | 1 | 10 | 100 | 100 |
4. 求和
$$
\sum f_i (x_i - \bar{x})^2 = 75 + 0 + 50 + 100 = 225
$$
5. 计算样本方差
$$
s^2 = \frac{225}{11 - 1} = \frac{225}{10} = 22.5
$$
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum f_i (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 核心步骤 | 计算均值 → 求差平方 → 乘频数 → 求和 → 除以自由度 |
| 应用场景 | 数据以频数形式出现时，如调查结果、分组数据等 |
通过上述方法，可以准确地计算出具有频数数据的样本方差，从而更有效地分析数据的离散程度。
