在研究生阶段，《矩阵理论》作为一门重要的基础课程，涵盖了线性代数、矩阵分析以及其在工程和科学中的应用。为了帮助同学们更好地准备考试，以下是一些精选的复习题目，涵盖了矩阵的基本性质、特征值与特征向量、矩阵分解等核心内容。

一、基础知识

1. 定义与性质

设矩阵 $ A \in \mathbb{R}^{n \times n} $，证明：若 $ A $ 是对称矩阵，则其特征值均为实数。

2. 矩阵运算

给定两个矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $ 和 $ B = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $，计算 $ AB $ 和 $ BA $，并比较两者的差异。

二、特征值与特征向量

3. 特征值求解

求矩阵 $ C = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} $ 的特征值和对应的特征向量。

4. 谱半径

若矩阵 $ D = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $，计算其谱半径，并解释其物理意义。

三、矩阵分解

5. LU 分解

将矩阵 $ E = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} $ 进行 LU 分解（不进行置换操作）。

6. 奇异值分解 (SVD)

对矩阵 $ F = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} $ 进行奇异值分解，并写出分解结果。

四、应用问题

7. 最小二乘法

在数据拟合中，使用最小二乘法解决线性方程组 $ Ax = b $，其中 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，$ b = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} $。

8. 稳定性分析

考虑一个控制系统，其传递函数为 $ G(s) = \frac{s + 1}{s^2 + 2s + 2} $。通过矩阵分析判断系统的稳定性。

以上题目旨在帮助研究生同学巩固《矩阵理论》的核心知识点，同时培养实际问题的分析能力。希望每位同学都能在复习过程中取得优异的成绩！