在高三的学习阶段，数学作为一门重要的学科，不仅考查学生的逻辑思维能力，也对知识的综合运用提出了较高要求。为了帮助学生更好地掌握知识点、提升解题技巧，以下是一份精心设计的高三数学模拟试题，并附有详细解答，供同学们参考与练习。
一、选择题（每小题5分，共40分）
1. 函数 $ f(x) = \log_2(x^2 - 3x + 2) $ 的定义域是（ ）
A. $ (1, 2) $
B. $ (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) $
C. $ [1, 2] $
D. $ (1, +\infty) $
2. 若复数 $ z = 1 + i $，则 $ |z^2| $ 等于（ ）
A. $ \sqrt{2} $
B. $ 2 $
C. $ 1 $
D. $ 0 $
3. 已知向量 $ \vec{a} = (2, 1) $，$ \vec{b} = (-1, 3) $，则 $ \vec{a} \cdot \vec{b} $ 的值为（ ）
A. $ -1 $
B. $ 1 $
C. $ 5 $
D. $ -5 $
4. 设函数 $ f(x) = x^3 - 3x $，则其极值点个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
5. 不等式 $ \frac{x-1}{x+2} > 0 $ 的解集为（ ）
A. $ (-2, 1) $
B. $ (-\infty, -2) \cup (1, +\infty) $
C. $ (-\infty, -2) $
D. $ (1, +\infty) $
6. 在等差数列 $ \{a_n\} $ 中，已知 $ a_3 = 5 $，$ a_7 = 13 $，则公差 $ d $ 为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
7. 已知圆的方程为 $ x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0 $，则其圆心坐标为（ ）
A. $ (2, -3) $
B. $ (-2, 3) $
C. $ (2, 3) $
D. $ (-2, -3) $
8. 已知三角形 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 $ a = 3 $，$ b = 4 $，$ c = 5 $，则该三角形为（ ）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等边三角形
二、填空题（每小题5分，共20分）
9. 已知 $ \sin \theta = \frac{3}{5} $，且 $ \theta $ 在第二象限，则 $ \cos \theta = \_\_\_\_ $。
10. 函数 $ f(x) = \frac{1}{x-2} $ 的反函数为 $ f^{-1}(x) = \_\_\_\_ $。
11. 若 $ \log_2 a = 3 $，则 $ a = \_\_\_\_ $。
12. 已知 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 5 $，$ AC = 7 $，$ BC = 8 $，则 $ \angle BAC $ 的余弦值为 $ \_\_\_\_ $。
三、解答题（共40分）
13. （本题10分）
已知函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $，求：
（1）函数的图像与 x 轴的交点；
（2）函数的最小值。
14. （本题10分）
在平面直角坐标系中，已知点 A(1, 2)，B(-1, 3)，C(2, -1)，
求：
（1）向量 $ \vec{AB} $ 和 $ \vec{AC} $ 的夹角；
（2）以 A、B、C 为顶点的三角形面积。
15. （本题10分）
设等比数列 $ \{a_n\} $ 的前 n 项和为 $ S_n $，且 $ a_1 = 2 $，$ a_3 = 8 $，
求：
（1）该数列的公比 q；
（2）前 5 项和 $ S_5 $。
16. （本题10分）
已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x $，
求：
（1）函数的单调区间；
（2）函数的极值点及极值。
四、参考答案
一、选择题
1. B
2. B
3. D
4. B
5. B
6. A
7. A
8. C
二、填空题
9. $ -\frac{4}{5} $
10. $ f^{-1}(x) = \frac{1}{x} + 2 $
11. $ 8 $
12. $ \frac{11}{14} $
三、解答题
13.（1）交点为 $ (1, 0) $、$ (3, 0) $；（2）最小值为 $ -1 $
14.（1）夹角约为 $ 120^\circ $；（2）面积为 $ \frac{15}{2} $
15.（1）公比 $ q = 2 $；（2）前 5 项和为 $ 62 $
16.（1）增区间为 $ (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) $，减区间为 $ (-1, 1) $；
（2）极大值点 $ x = -1 $，极小值点 $ x = 1 $，极大值为 $ 2 $，极小值为 $ -2 $
通过这份模拟试题的练习，可以帮助同学们全面复习高中数学的重要知识点，提高解题能力和应试水平。建议在做题过程中注重思路分析，结合错题进行查漏补缺，逐步提升数学综合素养。
