在初中数学的学习过程中，一元二次方程是一个重要的知识点，也是后续学习函数、不等式等内容的基础。为了帮助同学们更好地掌握这一部分内容，特编制本套检测试题，旨在检测学生对一元二次方程的理解与应用能力。
一、选择题（每小题3分，共15分）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. $ x + 2 = 5 $
B. $ x^2 + 3x = 0 $
C. $ 2x + y = 7 $
D. $ x^3 - 4x = 0 $
2. 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的解是（ ）
A. $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $
B. $ x = 1 $ 或 $ x = 6 $
C. $ x = -2 $ 或 $ x = -3 $
D. $ x = -1 $ 或 $ x = -6 $
3. 若方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 有两个相等的实数根，则判别式 $ \Delta $ 满足（ ）
A. $ \Delta > 0 $
B. $ \Delta = 0 $
C. $ \Delta < 0 $
D. 无法判断
4. 将方程 $ 2x^2 - 4x = 8 $ 化为标准形式后，常数项是（ ）
A. 2
B. -4
C. 8
D. -8
5. 已知方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两根为 1 和 -3，则 p 和 q 的值分别为（ ）
A. $ p = 2, q = -3 $
B. $ p = -2, q = -3 $
C. $ p = -2, q = 3 $
D. $ p = 2, q = 3 $
二、填空题（每小题4分，共20分）
6. 方程 $ x^2 - 9 = 0 $ 的解为 ________。
7. 方程 $ (x - 2)(x + 3) = 0 $ 的解为 ________。
8. 若方程 $ x^2 + 6x + m = 0 $ 有实数根，则 m 的取值范围是 ________。
9. 方程 $ 3x^2 - 5x + 2 = 0 $ 的根为 ________。
10. 若方程 $ x^2 + mx + 12 = 0 $ 的两个根互为相反数，则 m 的值为 ________。
三、解答题（共25分）
11. 解方程：$ x^2 - 4x - 5 = 0 $。（5分）
12. 用配方法解方程：$ 2x^2 + 8x - 10 = 0 $。（7分）
13. 已知关于 x 的方程 $ x^2 - (k + 1)x + k = 0 $ 有一个根为 2，求 k 的值，并求另一个根。（8分）
14. 某商场销售一种商品，成本价为每件 50 元，若售价为每件 80 元，每天可卖出 100 件；若售价每提高 1 元，销量减少 5 件。设售价为 x 元，求每天的利润 y（元）与 x 的关系式，并求出利润最大的售价是多少？（5分）
参考答案（供教师或家长使用）
一、选择题
1. B2. A3. B4. D5. B
二、填空题
6. $ x = 3 $ 或 $ x = -3 $
7. $ x = 2 $ 或 $ x = -3 $
8. $ m \leq 9 $
9. $ x = 1 $ 或 $ x = \frac{2}{3} $
10. $ m = 0 $
三、解答题
11. $ x = 5 $ 或 $ x = -1 $
12. $ x = -1 $ 或 $ x = -5 $
13. $ k = 1 $，另一根为 1
14. $ y = -5x^2 + 550x - 2500 $，最大利润时售价为 55 元
通过本次测试，希望同学们能够查漏补缺，巩固基础知识，提升解题能力。数学学习贵在坚持与练习，祝大家学习进步！
