在数学领域中，连分数是一种特殊的表达形式，它由整数序列组成，并通过嵌套的方式表示一个数值。连分数不仅具有理论上的重要性，还广泛应用于数论、逼近理论以及某些实际问题的解决中。本文将通过一个具体的例题来展示如何进行连分数的计算。

例题背景

假设我们有一个简单的有理数 \( \frac{7}{5} \)，现在需要将其转换为连分数形式并完成相应的计算过程。

步骤解析

第一步：确定初始值

首先，我们将 \( \frac{7}{5} \) 的整数部分分离出来。即：

\[

\left\lfloor \frac{7}{5} \right\rfloor = 1

\]

因此，\( \frac{7}{5} = 1 + \frac{2}{5} \)。

第二步：取倒数继续分解

接下来，我们对剩余的部分 \( \frac{2}{5} \) 取倒数得到 \( \frac{5}{2} \)，然后再次分离其整数部分：

\[

\left\lfloor \frac{5}{2} \right\rfloor = 2

\]

所以，\( \frac{5}{2} = 2 + \frac{1}{2} \)。

第三步：重复操作直至结束

继续处理剩下的部分 \( \frac{1}{2} \)，取倒数得 \( \frac{2}{1} \)，显然其整数部分为：

\[

\left\lfloor \frac{2}{1} \right\rfloor = 2

\]

最终结果为 \( \frac{2}{1} = 2 \)。

第四步：构建连分数表达式

根据上述步骤，我们可以写出 \( \frac{7}{5} \) 的连分数表示形式：

\[

\frac{7}{5} = [1; 2, 2]

\]

这里，方括号内的数字依次表示每次分离出的整数部分。

总结

通过以上步骤可以看出，将一个有理数转化为连分数的过程实际上就是不断取整数部分并取倒数的过程。这种方法简单直观，且能够清晰地展示数值的内在结构。希望这个例子能帮助读者更好地理解连分数的概念及其应用。