在平面几何中，正弦定理是一个非常重要的结论，它揭示了三角形边长与角度之间的关系。传统上，正弦定理可以通过多种方法进行证明，如利用相似三角形或面积公式等。然而，本文将采用向量的方法来证明这一经典定理，以展现其简洁性和直观性。

问题背景

设 \( \triangle ABC \) 是一个普通三角形，其中 \( A, B, C \) 分别为三个顶点，对应的边分别为 \( BC = a \), \( CA = b \), \( AB = c \)，角 \( A, B, C \) 的大小分别为 \( \alpha, \beta, \gamma \)。我们需要证明正弦定理：

\[

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}.

\]

向量法证明

为了利用向量工具，我们首先引入以下向量表示：

- 设向量 \( \vec{AB} = \vec{c} \)，表示从点 \( A \) 到点 \( B \) 的有向线段；

- 同样地，向量 \( \vec{BC} = \vec{a} \)，表示从点 \( B \) 到点 \( C \) 的有向线段；

- 向量 \( \vec{CA} = \vec{b} \)，表示从点 \( C \) 到点 \( A \) 的有向线段。

根据三角形的基本性质，向量满足关系：

\[

\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}.

\]

接下来，我们将通过计算向量夹角的余弦值来推导正弦定理。

第一步：计算向量夹角

考虑向量 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{c} \) 的夹角为 \( \pi - \alpha \)，因为它们的方向相反。根据向量内积公式：

\[

\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos(\pi - \alpha).

\]

由于 \( \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha \)，上述公式可以改写为：

\[

\vec{a} \cdot \vec{c} = -|\vec{a}| |\vec{c}| \cos \alpha.

\]

类似地，对于其他两组向量 \( (\vec{b}, \vec{a}) \) 和 \( (\vec{c}, \vec{b}) \)，我们可以得到类似的表达式。

第二步：结合面积公式

三角形的面积可以用向量叉积表示为：

\[

\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{c}|.

\]

同时，面积也可以通过正弦函数表示为：

\[

\text{Area} = \frac{1}{2} bc \sin \alpha.

\]

将两种表示方式相等，即：

\[

\frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{c}| = \frac{1}{2} bc \sin \alpha.

\]

注意到 \( |\vec{a} \times \vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{c}| \sin \alpha \)，因此：

\[

bc \sin \alpha = |\vec{a}| |\vec{c}| \sin \alpha.

\]

消去 \( \sin \alpha \)（假设 \( \sin \alpha \neq 0 \)），得到：

\[

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}.

\]

结论

通过向量法，我们成功证明了正弦定理。这种方法不仅逻辑清晰，而且避免了复杂的几何构造，体现了向量工具的强大之处。

以上便是用向量法证明正弦定理的过程，希望读者能够从中体会到数学的美妙与简洁。