【基础解系怎么求出来的】在高等代数中，基础解系是线性方程组解空间的一组极大线性无关组，它能够表示该方程组的所有解。掌握如何求出基础解系，是理解线性方程组解的结构和性质的关键。
一、基础解系的定义
对于一个齐次线性方程组：
$$
A\mathbf{x} = \mathbf{0}
$$
其所有解构成一个向量空间，称为解空间。这个空间中的一组极大线性无关向量，称为该方程组的基础解系。基础解系的个数等于自由变量的个数（即矩阵的秩与未知数个数之差）。
二、求基础解系的步骤总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 将系数矩阵 $ A $ 写成增广矩阵的形式（若为齐次方程，可忽略常数项） |
| 2 | 对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行简化阶梯形矩阵（RREF） |
| 3 | 确定主变量（即含有首非零元的列对应的变量）和自由变量（未被主变量占据的列） |
| 4 | 将每个自由变量分别赋值为1或0，其余变量用主变量表示，得到一组特解 |
| 5 | 这些特解构成一组极大线性无关组，即为基础解系 |
三、举例说明
设齐次线性方程组为：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\
2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0 \\
x_1 + x_2 + x_3 = 0
\end{cases}
$$
其系数矩阵为：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 2 & -2 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
$$
通过初等行变换化简后得：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
由此可知：主变量为 $ x_1, x_3 $，自由变量为 $ x_2 $。
令 $ x_2 = t $，则：
- $ x_1 = -t $
- $ x_3 = 0 $
因此，通解为：
$$
\mathbf{x} = t \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
$$
所以，基础解系为：
$$
\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}
$$
四、小结
| 项目 | 内容 |
| 基础解系 | 齐次方程组解空间的一组极大线性无关向量 |
| 求法 | 行变换 → 确定主变量和自由变量 → 赋值 → 得到特解 |
| 关键点 | 自由变量的数量决定基础解系的个数 |
| 应用 | 用于描述方程组的全部解，是线性代数的重要工具 |
通过以上方法，可以系统地理解和掌握如何求出基础解系。理解这一过程有助于进一步学习线性方程组的结构、矩阵的秩、以及向量空间的相关知识。
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