【空间点线距离公式】在三维几何中，计算一个点到一条直线的距离是常见的问题之一。该公式广泛应用于数学、物理、工程和计算机图形学等领域。本文将对“空间点线距离公式”进行总结，并通过表格形式清晰展示相关知识点。

一、公式概述

在三维空间中，设有一点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 和一条直线 $ L $，该直线可以通过一个点 $ A(x_1, y_1, z_1) $ 和方向向量 $ \vec{v} = (a, b, c) $ 来表示。那么点 $ P $ 到直线 $ L $ 的距离 $ d $ 可以用以下公式计算：

$$

d = \frac{\vec{AP} \times \vec{v}}{\vec{v}}

$$

其中：

- $ \vec{AP} $ 是从点 $ A $ 指向点 $ P $ 的向量；

- $ \times $ 表示向量的叉乘；

- $ \cdot $ 表示向量的模长。

二、公式推导思路（简要）

1. 确定直线参数方程：

直线 $ L $ 上任意一点可以表示为 $ A + t\vec{v} $，其中 $ t $ 是实数。

2. 构造向量 $ \vec{AP} $：

向量 $ \vec{AP} = P - A = (x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1) $。

3. 利用叉乘求面积：

向量 $ \vec{AP} \times \vec{v} $ 的模长等于由这两个向量构成的平行四边形的面积，而该面积与点到直线的距离成正比。

4. 除以方向向量的模长：

通过除以 $ \vec{v} $，得到点到直线的垂直距离。

三、公式应用实例

假设点 $ P(2, 3, 5) $，直线 $ L $ 通过点 $ A(1, 1, 1) $，方向向量为 $ \vec{v} = (2, 1, 3) $。

则：

- $ \vec{AP} = (2-1, 3-1, 5-1) = (1, 2, 4) $

- $ \vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

1 & 2 & 4 \\

2 & 1 & 3 \\

\end{vmatrix} = (2 \cdot 3 - 4 \cdot 1)\mathbf{i} - (1 \cdot 3 - 4 \cdot 2)\mathbf{j} + (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2)\mathbf{k} = (6 - 4)\mathbf{i} - (3 - 8)\mathbf{j} + (1 - 4)\mathbf{k} = 2\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 3\mathbf{k} $

- $ \vec{AP} \times \vec{v} = \sqrt{2^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38} $

- $ \vec{v} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} $

因此，点 $ P $ 到直线 $ L $ 的距离为：

$$

d = \frac{\sqrt{38}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{38}{14}} = \sqrt{\frac{19}{7}} \approx 1.65

$$

四、总结表

通过以上内容，我们对“空间点线距离公式”有了全面的理解。该公式不仅具有理论价值，也在实际问题中发挥着重要作用。

以上就是【空间点线距离公式】相关内容，希望对您有所帮助。