【期望与方差公式汇总】在概率论与数理统计中，期望和方差是描述随机变量分布特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均取值水平，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。为了方便学习和应用，以下对常见的离散型与连续型随机变量的期望与方差公式进行了系统总结。
一、常见概率分布的期望与方差
| 分布名称 | 概率质量函数（PMF）或概率密度函数（PDF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 0-1分布（伯努利分布） | $ P(X=1)=p, \quad P(X=0)=1-p $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ Poisson(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
| 几何分布 $ Geom(p) $ | $ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p, \quad k=1,2,\ldots $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
| 超几何分布 $ H(N, K, n) $ | $ P(X=k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ \frac{nK}{N} $ | $ \frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)} $ |
二、期望与方差的基本性质
1. 线性性质
- $ E(aX + b) = aE(X) + b $
- $ Var(aX + b) = a^2Var(X) $
2. 方差展开式
- $ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $
3. 独立变量的方差
- 若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则 $ Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) $
4. 协方差与相关系数
- 协方差：$ Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))] $
- 相关系数：$ \rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} $
三、小结
期望与方差作为概率统计中的核心概念，广泛应用于数据分析、风险评估、金融建模等多个领域。掌握各类分布的期望与方差公式，有助于更深入地理解数据的分布特性，并为实际问题提供理论支持。通过表格形式的归纳整理，可以快速查阅并应用这些公式，提升学习效率与实践能力。
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