【求下列函数的定义域】在数学中，函数的定义域是指所有使得该函数有意义的自变量（通常为x）的取值范围。不同的函数类型对自变量有不同的限制条件，因此了解并掌握如何求解函数的定义域是学习函数的重要基础。
以下是对几类常见函数的定义域进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅和理解。
一、常见函数类型及其定义域总结
| 函数类型 | 函数表达式 | 定义域说明 |
| 一次函数 | $ f(x) = ax + b $ | 所有实数，即 $ x \in \mathbb{R} $ |
| 二次函数 | $ f(x) = ax^2 + bx + c $ | 所有实数，即 $ x \in \mathbb{R} $ |
| 分式函数 | $ f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} $ | 分母不为零，即 $ q(x) \neq 0 $，需排除使分母为零的x值 |
| 根号函数 | $ f(x) = \sqrt{g(x)} $ | 被开方数非负，即 $ g(x) \geq 0 $ |
| 对数函数 | $ f(x) = \log_a(g(x)) $ | 底数 $ a > 0 $ 且 $ a \neq 1 $，真数 $ g(x) > 0 $ |
| 指数函数 | $ f(x) = a^{g(x)} $ | 无论指数为何，底数 $ a > 0 $ 且 $ a \neq 1 $，定义域为全体实数 |
| 反三角函数 | 如 $ y = \arcsin(x) $ | 定义域为 $ [-1, 1] $，其他反三角函数也有各自限定区间 |
二、典型例题解析
1. 函数： $ f(x) = \frac{1}{x - 3} $
定义域： $ x \neq 3 $，即 $ x \in \mathbb{R} \setminus \{3\} $
2. 函数： $ f(x) = \sqrt{x - 5} $
定义域： $ x - 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5 $，即 $ x \in [5, +\infty) $
3. 函数： $ f(x) = \log_2(x + 1) $
定义域： $ x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 $，即 $ x \in (-1, +\infty) $
4. 函数： $ f(x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{x^2 - 4} $
定义域：
- 根号内：$ x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 $
- 分母不为零：$ x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2 $
综上： $ x \geq 2 $ 且 $ x \neq 2 $，即 $ x \in (2, +\infty) $
三、总结
在求函数的定义域时，应根据函数的形式逐项分析限制条件。对于分式函数，注意分母不能为零；对于根号函数，被开方数必须非负；对于对数函数，真数必须大于零。掌握这些规则后，可以系统地解决大多数函数的定义域问题。
通过以上表格与例题的结合，能够更清晰地理解各类函数的定义域要求，有助于提升解题效率和逻辑思维能力。
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