【等差数列的三个公式】在数学中，等差数列是一种非常常见的数列形式，它具有固定的公差，即每一项与前一项之间的差是相同的。等差数列在实际问题中应用广泛，如金融计算、物理运动分析等。为了更好地理解和运用等差数列，掌握其核心公式至关重要。
以下是等差数列的三个重要公式，它们可以帮助我们快速求出通项、前n项和以及判断是否为等差数列。
一、等差数列的基本定义
一个数列如果满足：
$$ a_{n} = a_{1} + (n - 1)d $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差，$ n $ 是项数，则这个数列为等差数列。
二、等差数列的三个核心公式
| 公式编号 | 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 1 | 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 用于求第n项的值 |
| 2 | 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 用于求前n项的总和，可根据已知项数和首末项或首项与公差来计算 |
| 3 | 判断等差数列的条件 | 若 $ a_{n+1} - a_n = d $（d为常数） | 通过相邻两项的差是否为定值来判断该数列是否为等差数列 |
三、使用示例
例1：通项公式
已知等差数列首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 2 $，求第5项。
解：
$$ a_5 = 3 + (5 - 1) \times 2 = 3 + 8 = 11 $$
例2：前n项和公式
已知首项 $ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $，求前4项的和。
解：
$$ S_4 = \frac{4}{2}[2 \times 2 + (4 - 1) \times 3] = 2[4 + 9] = 2 \times 13 = 26 $$
例3：判断等差数列
数列：2, 5, 8, 11
检查相邻项的差：
5 - 2 = 3
8 - 5 = 3
11 - 8 = 3
因为差值恒为3，所以这是一个等差数列。
四、总结
等差数列的三个基本公式分别是通项公式、前n项和公式和判断等差数列的条件。熟练掌握这些公式，不仅有助于解决数学问题，还能在实际生活中灵活应用，比如计算工资增长、投资收益等。理解并记忆这些公式，是学习数列知识的重要基础。
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