【两向量垂直公式推导】在向量几何中，判断两个向量是否垂直是一个常见且重要的问题。通过数学推导可以得出两向量垂直的条件，并利用该条件进行实际应用。本文将对两向量垂直的公式进行推导，并以加表格的形式展示关键内容。

一、基本概念

向量是具有大小和方向的数学对象。在二维或三维空间中，向量通常表示为坐标形式，如：

- 在二维空间中：$\vec{a} = (a_1, a_2)$

- 在三维空间中：$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$

两个向量垂直，意味着它们之间的夹角为90度（即直角）。

二、两向量垂直的判定方法

两向量垂直的充要条件是它们的点积（内积）为零。

1. 点积定义

对于两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的点积定义为：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n

$$

其中 $n$ 是向量的维数（如二维或三维）。

2. 垂直条件

若 $\vec{a} \perp \vec{b}$，则有：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

$$

这个结论可以通过余弦定理推导得出。当两向量夹角为90度时，$\cos(90^\circ) = 0$，因此点积等于零。

三、推导过程简述

设两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，其夹角为 $\theta$，根据余弦定理：

$$

$$

若 $\theta = 90^\circ$，则 $\cos\theta = 0$，代入得：

$$

$$

另一方面，展开左边：

$$

$$

对比两边可得：

$$

\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}

$$

因此：

$$

-2\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

$$

四、总结与表格

五、应用举例

例如，已知向量 $\vec{a} = (3, 4)$，$\vec{b} = (-4, 3)$，计算其点积：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0

$$

因此，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直。

通过以上推导与总结，我们可以清晰地理解两向量垂直的数学原理及其应用方式。这一知识在物理、工程、计算机图形学等领域有着广泛的应用价值。

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