【三角函数公式总结大全】在数学学习中，三角函数是基础且重要的内容之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。为了帮助大家更好地掌握和应用这些公式，本文对常见的三角函数公式进行了系统性的整理与归纳，便于查阅和记忆。
一、基本概念
三角函数是以直角三角形的边角关系为基础定义的，主要包括以下六种：
| 函数名称 | 符号 | 定义式（直角三角形） |
| 正弦 | sinθ | 对边 / 斜边 |
| 余弦 | cosθ | 邻边 / 斜边 |
| 正切 | tanθ | 对边 / 邻边 |
| 余切 | cotθ | 邻边 / 对边 |
| 正割 | secθ | 斜边 / 邻边 |
| 余割 | cscθ | 斜边 / 对边 |
二、基本公式
1. 基本关系式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ |
| 倒数关系 | cotθ = 1 / tanθ, secθ = 1 / cosθ, cscθ = 1 / sinθ |
2. 诱导公式（角度变换）
| 角度变化 | 公式表达式 |
| θ + 2π | sin(θ + 2π) = sinθ, cos(θ + 2π) = cosθ |
| π - θ | sin(π - θ) = sinθ, cos(π - θ) = -cosθ |
| π + θ | sin(π + θ) = -sinθ, cos(π + θ) = -cosθ |
| -θ | sin(-θ) = -sinθ, cos(-θ) = cosθ |
| π/2 - θ | sin(π/2 - θ) = cosθ, cos(π/2 - θ) = sinθ |
| π/2 + θ | sin(π/2 + θ) = cosθ, cos(π/2 + θ) = -sinθ |
3. 和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差角 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差角 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB |
| 正切和差角 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
4. 二倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦二倍角 | sin2θ = 2sinθ cosθ |
| 余弦二倍角 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切二倍角 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) |
5. 三倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦三倍角 | sin3θ = 3sinθ - 4sin³θ |
| 余弦三倍角 | cos3θ = 4cos³θ - 3cosθ |
| 正切三倍角 | tan3θ = (3tanθ - tan³θ) / (1 - 3tan²θ) |
6. 半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] |
7. 积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA cosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinA sinB | [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
| cosA sinB | [sin(A+B) - sin(A-B)] / 2 |
8. 和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
三、常用角度值表
| 角度（°） | 弧度（rad） | sinθ | cosθ | tanθ |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90 | π/2 | 1 | 0 | 无意义 |
四、小结
三角函数的公式繁多，但它们之间有着密切的联系。掌握这些公式不仅可以提高解题效率，还能帮助我们更深入地理解三角函数的性质与应用。建议在学习过程中结合图形进行理解，并通过练习不断巩固记忆。
希望这份“三角函数公式总结大全”能够成为你学习和复习的好帮手！
