【边际技术替代率递减规律用数学公式】在经济学中，边际技术替代率（Marginal Rate of Technical Substitution, 简称MRTS） 是一个重要的概念，用于描述在保持产量不变的情况下，一种生产要素（如劳动）可以被另一种生产要素（如资本）替代的比率。随着生产过程中某种要素的增加，其边际产量会逐渐减少，从而导致替代率下降，这就是边际技术替代率递减规律。
一、基本概念总结
| 概念 | 内容 |
| 边际技术替代率（MRTS） | 在保持产量不变的前提下，增加一单位某种生产要素（如劳动）所能够替代的另一种生产要素（如资本）的数量。 |
| 边际技术替代率递减规律 | 当连续增加一种生产要素而减少另一种时，MRTS 会逐渐减少，即替代效率降低。 |
| 生产函数 | 描述投入与产出关系的函数，常见形式有柯布-道格拉斯生产函数等。 |
| 边际产量（MP） | 增加一单位某生产要素所带来的总产量的增加量。 |
二、数学公式表达
假设生产函数为：
$$
Q = f(L, K)
$$
其中：
- $ Q $ 表示产量
- $ L $ 表示劳动投入
- $ K $ 表示资本投入
1. 边际技术替代率的定义公式
$$
MRTS_{L,K} = -\frac{dK}{dL} = \frac{MP_L}{MP_K}
$$
说明：
- $ MP_L $ 是劳动的边际产量，表示增加一单位劳动带来的产量变化；
- $ MP_K $ 是资本的边际产量，表示增加一单位资本带来的产量变化；
- 负号表示当劳动增加时，资本应减少以维持产量不变。
2. 柯布-道格拉斯生产函数举例
设生产函数为：
$$
Q = AL^\alpha K^\beta
$$
则其边际产量分别为：
$$
MP_L = \alpha A L^{\alpha - 1} K^\beta \\
MP_K = \beta A L^\alpha K^{\beta - 1}
$$
代入 MRTS 公式得：
$$
MRTS_{L,K} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{\alpha A L^{\alpha - 1} K^\beta}{\beta A L^\alpha K^{\beta - 1}} = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{K}{L}
$$
由此可见，MRTS 随着 L 的增加或 K 的减少而下降，符合边际技术替代率递减规律。
三、表格对比（不同情况下的 MRTS）
| 投入组合 | 劳动（L） | 资本（K） | 边际产量（MP_L） | 边际产量（MP_K） | MRTS_{L,K} |
| 组合1 | 1 | 10 | 5 | 8 | 5/8 = 0.625 |
| 组合2 | 2 | 7 | 4 | 6 | 4/6 ≈ 0.667 |
| 组合3 | 3 | 5 | 3 | 5 | 3/5 = 0.6 |
| 组合4 | 4 | 4 | 2 | 4 | 2/4 = 0.5 |
从表中可以看出，随着劳动投入增加，资本投入减少，MRTS 不断下降，验证了边际技术替代率递减规律。
四、总结
边际技术替代率递减规律是生产理论中的重要结论，它揭示了在资源有限的情况下，企业如何在不同生产要素之间进行优化配置。通过数学公式可以清晰地表达这一规律，并借助具体案例加以验证。理解该规律有助于企业在实际生产中做出更合理的资源配置决策。
