【等比数列计算公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。掌握等比数列的计算公式对于解决实际问题和理解数列规律具有重要意义。
一、等比数列的基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
- 通项公式：设首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $，则第 $ n $ 项为：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
- 公比：$ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $，其中 $ n \geq 2 $
二、等比数列的常用计算公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 计算数列中第n项的值 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | 当 $ r \neq 1 $ 时适用 | ||
| 当 $ r = 1 $ 时 | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 所有项都相等，直接相加 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ | 当 $ | r | < 1 $ 时收敛 |
三、示例分析
假设有一个等比数列，首项 $ a_1 = 3 $，公比 $ r = 2 $，求：
1. 第5项的值
2. 前5项的和
3. 若公比为 $ 0.5 $，求无限项的和
解答：
1. 第5项：
$$
a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48
$$
2. 前5项和：
$$
S_5 = 3 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{1 - 32}{-1} = 3 \cdot 31 = 93
$$
3. 无限项和（当 $ r = 0.5 $）：
$$
S = \frac{3}{1 - 0.5} = \frac{3}{0.5} = 6
$$
四、总结
等比数列是数学中常见的数列类型，掌握其基本公式有助于快速计算各项数值和总和。无论是有限项还是无限项的情况，都有对应的计算方法。在实际应用中，如金融计算、几何增长模型等，等比数列的公式都具有广泛的应用价值。
表格总结：
| 项目 | 公式 | 备注 | ||
| 第n项 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 适用于任意n ≥ 1 | ||
| 前n项和 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | r ≠ 1 | ||
| r = 1时的和 | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 所有项相同 | ||
| 无穷和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ | 仅当 | r | < 1 时成立 |
通过以上内容，可以系统地理解和应用等比数列的相关公式。
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