【终值定理例题】在控制系统分析中，终值定理是一个非常重要的工具，用于确定系统在时间趋于无穷大时的输出值。终值定理常用于拉普拉斯变换中，适用于稳定系统的响应分析。本文将通过几个典型例题来展示终值定理的应用，并以总结加表格的形式呈现答案。
一、终值定理简介
终值定理公式如下：
$$
\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)
$$
其中，$ F(s) $ 是 $ f(t) $ 的拉普拉斯变换。该定理仅适用于系统稳定的场合，即所有极点位于复平面左半部分（实部小于零）。
二、例题解析
例题1：
已知 $ F(s) = \frac{1}{s(s + 2)} $，求 $ \lim_{t \to \infty} f(t) $。
解法：
$$
\lim_{s \to 0} sF(s) = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{1}{s(s + 2)} = \lim_{s \to 0} \frac{1}{s + 2} = \frac{1}{2}
$$
结论： $ \lim_{t \to \infty} f(t) = \frac{1}{2} $
例题2：
已知 $ F(s) = \frac{5}{s^2 + 4s + 3} $，求 $ \lim_{t \to \infty} f(t) $。
解法：
先对分母进行因式分解：
$$
F(s) = \frac{5}{(s + 1)(s + 3)}
$$
$$
\lim_{s \to 0} sF(s) = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{5}{(s + 1)(s + 3)} = \frac{5 \cdot 0}{(1)(3)} = 0
$$
结论： $ \lim_{t \to \infty} f(t) = 0 $
例题3：
已知 $ F(s) = \frac{2s + 1}{s^2 + 3s + 2} $，求 $ \lim_{t \to \infty} f(t) $。
解法：
$$
\lim_{s \to 0} sF(s) = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{2s + 1}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{0 + 1}{(1)(2)} = \frac{1}{2}
$$
结论： $ \lim_{t \to \infty} f(t) = \frac{1}{2} $
三、总结与表格
| 例题编号 | $ F(s) $ | 终值计算过程 | 最终结果 |
| 1 | $ \frac{1}{s(s + 2)} $ | $ \lim_{s \to 0} \frac{1}{s + 2} $ | $ \frac{1}{2} $ |
| 2 | $ \frac{5}{s^2 + 4s + 3} $ | $ \lim_{s \to 0} \frac{5s}{(s + 1)(s + 3)} $ | 0 |
| 3 | $ \frac{2s + 1}{s^2 + 3s + 2} $ | $ \lim_{s \to 0} \frac{s(2s + 1)}{(s + 1)(s + 2)} $ | $ \frac{1}{2} $ |
四、注意事项
- 终值定理只适用于系统稳定的情况。
- 若系统不稳定（如存在右半平面极点），则不能使用终值定理。
- 使用终值定理前，应确认 $ sF(s) $ 在 $ s=0 $ 处有极限。
通过以上例题和总结，可以清晰地看到终值定理在实际问题中的应用方式。掌握这一方法有助于快速判断系统稳态响应的大小，是控制理论学习的重要基础之一。
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