【高中常用十个泰勒展开公式】在高中数学学习中，泰勒展开是一个重要的数学工具，尤其在微积分和函数近似方面有着广泛的应用。虽然高中阶段并不深入讲解泰勒级数的理论推导，但掌握一些常见的泰勒展开式对理解函数性质、求极限、近似计算等都有很大帮助。以下是高中阶段常用的十个泰勒展开公式，以总结加表格的形式呈现。
一、泰勒展开简介
泰勒展开是将一个函数表示为无穷级数的一种方法，通常以某一点为中心展开。当展开点为0时，也称为麦克劳林展开。对于某些常见函数，其泰勒展开具有简洁的形式，便于记忆和应用。
二、高中常用十种泰勒展开公式
| 序号 | 函数表达式 | 泰勒展开（x=0处） | 展开形式（前几项） | ||
| 1 | $ e^x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | ||
| 2 | $ \sin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $ | ||
| 3 | $ \cos x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ | ||
| 4 | $ \ln(1+x) $ | $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $ ( | x | < 1) |
| 5 | $ \arctan x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots $ ( | x | ≤ 1) |
| 6 | $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots $ | 非常复杂，一般不用于高中教学 | ||
| 7 | $ \tan x $ | $ x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots $ | 前几项可记，但高阶项复杂 | ||
| 8 | $ \frac{1}{1-x} $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} x^n $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots $ ( | x | < 1) |
| 9 | $ \sqrt{1+x} $ | $ 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \cdots $ | 前几项可记，适用于近似计算 | ||
| 10 | $ \sinh x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots $ |
三、使用建议
- 在高中阶段，重点掌握 $ e^x $、$ \sin x $、$ \cos x $、$ \ln(1+x) $、$ \frac{1}{1-x} $ 这几个函数的泰勒展开。
- 对于 $ \arctan x $、$ \tan x $、$ \sqrt{1+x} $ 等，可以了解其展开形式，但在考试中一般不会要求完整写出所有项。
- 泰勒展开常用于 极限计算、函数近似、判断函数单调性 等问题中，灵活运用能提高解题效率。
四、小结
掌握这些常见的泰勒展开公式，有助于理解函数的局部行为，提升对函数图像和变化趋势的认识。虽然高中课程不深入讲解泰勒级数的理论，但适当了解这些内容，能为今后学习微积分打下坚实的基础。
希望这份总结对你有所帮助！
