【什么是可分离变量的微分方程】在微积分与微分方程的学习中，可分离变量的微分方程是一种较为基础且重要的类型。它指的是可以通过代数操作将方程中的变量分别放置在等式两边，从而可以分别对每个变量进行积分求解的一类微分方程。这类方程形式简单、易于求解，在物理、工程和经济学等领域有广泛应用。

一、什么是可分离变量的微分方程？

可分离变量的微分方程是指形如：

$$

\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)

$$

的微分方程，其中 $g(x)$ 是仅关于 $x$ 的函数，$h(y)$ 是仅关于 $y$ 的函数。通过将方程改写为：

$$

\frac{1}{h(y)} dy = g(x) dx

$$

就可以将变量 $x$ 和 $y$ 分离到等式的两边，然后分别对两边积分求解。

二、可分离变量微分方程的特征

三、求解步骤

1. 确认是否可分离：检查方程是否可以表示为 $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$ 的形式。

2. 分离变量：将 $y$ 相关的项移到左边，$x$ 相关的项移到右边，得到 $\frac{1}{h(y)} dy = g(x) dx$。

3. 积分求解：分别对两边积分，得到通解。

4. 整理结果：根据初始条件，可能需要进一步化简或确定常数。

四、示例说明

例题：

解微分方程 $ \frac{dy}{dx} = x y $

解法：

1. 原式可写为：$\frac{dy}{dx} = x y$

2. 分离变量：$\frac{1}{y} dy = x dx$

3. 积分：$\int \frac{1}{y} dy = \int x dx$

4. 得到：$\lny = \frac{x^2}{2} + C$

5. 解出 $y$：$y = Ce^{\frac{x^2}{2}}$

五、总结

可分离变量的微分方程是一种结构清晰、易于求解的微分方程类型。只要能将其变量分离，便可通过简单的积分方法求得解。掌握这一类方程的识别与求解方法，是学习更复杂微分方程的基础。

通过理解可分离变量的微分方程，可以为后续学习其他类型的微分方程打下坚实基础。