【数列的单调和有界是怎么定义的】在数学中，数列是按照一定顺序排列的一组数，通常用 $ a_1, a_2, a_3, \ldots $ 表示。为了研究数列的变化趋势和极限行为，我们需要了解数列的两个重要性质：单调性和有界性。以下是对这两个概念的详细说明。

一、数列的单调性

定义：一个数列如果满足某种递增或递减的趋势，就称为单调数列。具体分为以下两种类型：

- 递增数列：对于任意正整数 $ n $，都有 $ a_{n+1} \geq a_n $。

- 递减数列：对于任意正整数 $ n $，都有 $ a_{n+1} \leq a_n $。

注意：有些教材中将“严格”递增或递减也单独列出，即：

- 严格递增：$ a_{n+1} > a_n $

- 严格递减：$ a_{n+1} < a_n $

二、数列的有界性

定义：一个数列如果存在一个实数 $ M $，使得所有项都小于等于 $ M $（上界），同时存在另一个实数 $ m $，使得所有项都大于等于 $ m $（下界），那么这个数列就是有界数列。

换句话说，若存在正数 $ M $，使得对所有 $ n \in \mathbb{N} $，都有 $ a_n \leq M $，则称该数列为有界数列。

三、总结对比表

四、补充说明

- 单调有界数列：如果一个数列既是单调的又是有界的，那么根据单调有界定理，它一定存在极限。

- 无界数列：如果数列没有上界或下界，则称为无界数列，如 $ a_n = n $ 是无界的递增数列。

通过理解数列的单调性和有界性，我们可以更好地分析数列的收敛性与极限行为，这对后续学习极限、级数等数学内容具有重要意义。