在数学中，根号符号（√）用于表示平方根，而将一个数的平方根进行化简是一种常见的运算技巧。今天我们就来详细探讨一下如何对根号75进行化简。

首先，我们需要明确一点，根号75即为√75。为了简化这个表达式，我们可以通过分解因数的方法寻找其中可以提取出的完全平方数。

第一步：分解质因数

75是一个合数，我们可以先将其分解为其质因数的乘积。通过分解，我们得到：

\[ 75 = 3 \times 5 \times 5 \]

这里可以看到，5出现了两次，因此我们可以进一步整理为：

\[ 75 = 3 \times 5^2 \]

第二步：提取完全平方数

根据平方根的性质，如果某个数是另一个数的平方，则可以直接将其从根号中提出。因此，在上面的结果中，由于 \( 5^2 \) 是完全平方数，我们可以将其从根号中提取出来：

\[ \sqrt{75} = \sqrt{3 \times 5^2} = \sqrt{3} \times \sqrt{5^2} \]

因为 \(\sqrt{5^2} = 5\)，所以可以简化为：

\[ \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \]

第三步：验证结果

为了确保我们的计算正确无误，我们可以将 \( 5\sqrt{3} \) 再次平方回去，看看是否等于原数75：

\[ (5\sqrt{3})^2 = 5^2 \times (\sqrt{3})^2 = 25 \times 3 = 75 \]

验证结果显示，结果无误。

总结

通过对75进行质因数分解，并提取出完全平方数，我们成功地将 \(\sqrt{75}\) 化简为 \(5\sqrt{3}\)。这种化简方法不仅适用于75，也可以推广到其他类似的根号表达式中。希望本文能帮助大家更好地理解和掌握这一基础但重要的数学技能！