【绝对值不等式的公式及推导】在数学学习中，绝对值不等式是解决许多实际问题的重要工具。它不仅出现在代数中，还广泛应用于函数分析、几何以及物理等领域。本文将对常见的绝对值不等式进行总结，并提供其基本公式和推导过程。

一、绝对值的基本概念

绝对值 a 表示实数 a 到原点的距离，无论 a 是正还是负，其绝对值都是非负的。

即：

$$

\begin{cases}

a, & \text{当 } a \geq 0 \\

-a, & \text{当 } a < 0

\end{cases}

$$

二、常见绝对值不等式及其推导

以下是一些常见的绝对值不等式及其推导过程：

三、典型例题解析

例1：解不等式 2x - 3 < 5

解法：

根据公式 ax + b < c → -c < ax + b < c

即：-5 < 2x - 3 < 5

两边加3：-2 < 2x < 8

两边除以2：-1 < x < 4

所以解集为 (-1, 4)

例2：解不等式 3x + 2 ≥ 7

解法：

根据公式 ax + b ≥ c → ax + b ≤ -c 或 ax + b ≥ c

即：3x + 2 ≤ -7 或 3x + 2 ≥ 7

解第一个不等式：3x ≤ -9 → x ≤ -3

解第二个不等式：3x ≥ 5 → x ≥ 5/3

所以解集为 (-∞, -3] ∪ [5/3, +∞)

四、总结

绝对值不等式是处理带有“距离”或“范围”的问题时的重要工具。掌握其基本公式和推导方法，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。通过上述表格和例题，可以系统地理解并应用这些不等式。

注意事项：

- 在解含有参数的不等式时，需注意参数的正负对不等式方向的影响。

- 绝对值不等式常与区间表示结合使用，便于直观理解解集范围。