在数学学习中，数列是一个重要的研究对象，而求数列的通项公式则是解决数列问题的关键步骤之一。构造法是一种非常实用的方法，通过巧妙地构建辅助数列来简化问题，从而找到原数列的通项公式。本文将通过具体的例题演示构造法的应用，并提供详细的解答过程。
例题一：已知数列满足递推关系式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^n$，且 $a_1 = 1$，求其通项公式。
解题思路：
观察递推关系式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^n$，发现右侧的 $2^n$ 是一个指数函数，而左侧的 $a_n$ 是未知的。为了消除这种不对称性，我们尝试构造一个新的数列 $b_n = a_n + k \cdot 2^n$，其中 $k$ 是待定常数。
令 $b_n = a_n + k \cdot 2^n$，则有：
$$
b_{n+1} = a_{n+1} + k \cdot 2^{n+1}.
$$
代入递推关系式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^n$，得到：
$$
b_{n+1} = 3a_n + 2^n + k \cdot 2^{n+1}.
$$
再将 $b_n = a_n + k \cdot 2^n$ 代入，化简得：
$$
b_{n+1} = 3(b_n - k \cdot 2^n) + 2^n + k \cdot 2^{n+1}.
$$
整理后为：
$$
b_{n+1} = 3b_n - 3k \cdot 2^n + 2^n + k \cdot 2^{n+1}.
$$
进一步化简：
$$
b_{n+1} = 3b_n + (2 - 3k + 2k) \cdot 2^n.
$$
为了让 $b_{n+1}$ 的形式更加简洁，令系数 $(2 - 3k + 2k) = 0$，即：
$$
2 - k = 0 \implies k = 2.
$$
因此，构造的新数列 $b_n = a_n + 2 \cdot 2^n$ 满足：
$$
b_{n+1} = 3b_n.
$$
这是一个等比数列，公比为 3。由初始条件 $a_1 = 1$，可得：
$$
b_1 = a_1 + 2 \cdot 2^1 = 1 + 4 = 5.
$$
于是 $b_n = 5 \cdot 3^{n-1}$。
回到原数列 $a_n$ 的表达式：
$$
a_n = b_n - 2 \cdot 2^n = 5 \cdot 3^{n-1} - 2^{n+1}.
$$
最终答案：
$$
a_n = 5 \cdot 3^{n-1} - 2^{n+1}.
$$
例题二：已知数列满足递推关系式 $a_{n+1} = 2a_n + n$，且 $a_1 = 1$，求其通项公式。
解题思路：
同样使用构造法。观察递推关系式 $a_{n+1} = 2a_n + n$，发现右侧的 $n$ 是线性函数。为了消除线性项，我们构造一个新的数列 $b_n = a_n + k \cdot n + c$，其中 $k, c$ 是待定常数。
令 $b_n = a_n + k \cdot n + c$，则有：
$$
b_{n+1} = a_{n+1} + k(n+1) + c.
$$
代入递推关系式 $a_{n+1} = 2a_n + n$，得到：
$$
b_{n+1} = 2a_n + n + k(n+1) + c.
$$
再将 $b_n = a_n + k \cdot n + c$ 代入，化简得：
$$
b_{n+1} = 2(b_n - k \cdot n - c) + n + k(n+1) + c.
$$
整理后为：
$$
b_{n+1} = 2b_n - 2k \cdot n - 2c + n + kn + k + c.
$$
进一步化简：
$$
b_{n+1} = 2b_n + (-2k + k + 1)n + (-2c + k + c).
$$
为了让 $b_{n+1}$ 的形式更加简洁，令系数 $(-2k + k + 1) = 0$ 和 $(-2c + k + c) = 0$，即：
$$
-k + 1 = 0 \implies k = 1,
$$
$$
-c + 1 = 0 \implies c = 1.
$$
因此，构造的新数列 $b_n = a_n + n + 1$ 满足：
$$
b_{n+1} = 2b_n.
$$
这是一个等比数列，公比为 2。由初始条件 $a_1 = 1$，可得：
$$
b_1 = a_1 + 1 + 1 = 3.
$$
于是 $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$。
回到原数列 $a_n$ 的表达式：
$$
a_n = b_n - n - 1 = 3 \cdot 2^{n-1} - n - 1.
$$
最终答案：
$$
a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - n - 1.
$$
通过以上两道例题可以看出，构造法求数列通项公式的核心在于合理地构造辅助数列，使原递推关系式变得简单或对称。这种方法不仅适用于特定类型的递推关系，还能帮助我们更清晰地理解数列的本质。希望读者通过这些例题能够掌握构造法的基本思想和应用技巧！
