【几何平均数的计算公式】在统计学中，几何平均数是一种常用的平均值计算方法，尤其适用于数据呈指数增长或变化率相近的情况。与算术平均数不同，几何平均数能够更好地反映数据之间的比例关系，常用于计算投资回报率、增长率等。
一、几何平均数的基本概念
几何平均数（Geometric Mean）是将一组数值相乘后开n次方（n为数值个数）所得到的结果。它特别适合处理具有乘法性质的数据，例如年利率、增长率、指数变化等。
二、几何平均数的计算公式
设有一组正实数 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，则其几何平均数 $ G $ 的计算公式如下：
$$
G = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n}
$$
或者写成：
$$
G = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}
$$
其中，$ \prod $ 表示连乘积，$ n $ 是数据的个数。
三、几何平均数的特点
| 特点 | 说明 |
| 适用于比率数据 | 对于百分比、增长率等数据更为适用 |
| 不受极端值影响较小 | 相较于算术平均数，对极端值不敏感 |
| 需要所有数据为正数 | 若有0或负数，无法计算几何平均数 |
| 常用于复利计算 | 如投资回报率、人口增长等 |
四、几何平均数的计算步骤
1. 收集数据：确保所有数据均为正数；
2. 求乘积：将所有数据相乘；
3. 开n次方：将乘积结果开n次方，其中n为数据个数；
4. 得出结果：即为几何平均数。
五、实例分析
假设某公司三年的年增长率分别为 5%、10% 和 15%，求其平均增长率。
步骤如下：
1. 将增长率转换为小数形式：1.05、1.10、1.15
2. 计算乘积：$ 1.05 \times 1.10 \times 1.15 = 1.32825 $
3. 开3次方：$ \sqrt[3]{1.32825} \approx 1.10 $
4. 转换为百分比：$ 1.10 - 1 = 0.10 $，即 10%
因此，该公司的平均年增长率为 10%。
六、几何平均数与算术平均数的比较
| 指标 | 几何平均数 | 算术平均数 |
| 定义 | 连乘积开n次方 | 所有数之和除以个数 |
| 适用性 | 比率、增长率 | 一般数值数据 |
| 受极端值影响 | 较小 | 较大 |
| 结果大小 | 通常小于等于算术平均数 | 通常大于几何平均数 |
七、总结
几何平均数是一种重要的统计工具，尤其适用于描述增长率、比例变化等情况。通过合理使用几何平均数，可以更准确地反映数据的整体趋势。在实际应用中，应根据数据类型选择合适的平均数计算方式，以提高分析的准确性与科学性。
