【超几何分布的期望与方差公式】在概率论与数理统计中，超几何分布是一种描述在不放回抽样情况下成功次数的概率分布。它常用于从有限总体中抽取样本时的随机事件分析。本文将对超几何分布的期望与方差公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、超几何分布的基本概念
超几何分布适用于以下场景：
- 总体中有 $ N $ 个个体；
- 其中 $ K $ 个个体具有某种特征（称为“成功”）；
- 从中随机抽取 $ n $ 个个体，不放回；
- 设 $ X $ 表示这 $ n $ 个个体中具有该特征的数量，则 $ X $ 服从超几何分布，记为 $ X \sim H(N, K, n) $。
二、超几何分布的期望与方差公式
以下是超几何分布的期望与方差的数学表达式：
| 参数 | 公式 | 说明 |
| 期望（均值） | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ | 表示在 $ n $ 次抽样中，平均能抽到具有特征的个体数量 |
| 方差 | $ Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ | 描述了抽样结果的波动程度，考虑了不放回抽样的影响 |
三、公式解析与理解
1. 期望部分
超几何分布的期望类似于二项分布的期望，即 $ n \cdot p $，其中 $ p = \frac{K}{N} $ 是每次抽样成功的概率。但由于是不放回抽样，期望仍然保持线性性质，不受抽样方式的影响。
2. 方差部分
超几何分布的方差比二项分布小，这是因为不放回抽样减少了样本之间的独立性。方差中的因子 $ \frac{N - n}{N - 1} $ 称为“有限总体校正因子”，当 $ n $ 相对于 $ N $ 很小时，这个因子接近于 1，此时超几何分布近似于二项分布。
四、实际应用举例
假设一个班级有 50 名学生，其中有 10 名是优秀学生。从中随机抽取 5 名学生，问其中优秀学生的期望人数和方差是多少？
- $ N = 50 $，$ K = 10 $，$ n = 5 $
- 期望：$ E(X) = 5 \cdot \frac{10}{50} = 1 $
- 方差：$ Var(X) = 5 \cdot \frac{10}{50} \cdot \left(1 - \frac{10}{50}\right) \cdot \frac{50 - 5}{50 - 1} = 0.8 \cdot 0.9 \cdot 0.909 \approx 0.654 $
五、总结
超几何分布是描述不放回抽样中成功次数的重要模型，其期望和方差公式简洁且实用。掌握这些公式有助于在实际问题中进行概率建模与数据分析。
| 项目 | 公式 |
| 期望 | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ |
| 方差 | $ Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ |
通过理解这些公式，可以更准确地分析和预测在有限总体中的随机事件结果。
