【复合函数求导】在微积分中，复合函数的求导是基本但重要的内容。它涉及到多个函数的组合，通过链式法则进行求导。掌握复合函数的求导方法有助于解决更复杂的数学问题，如物理、工程和经济学中的优化与变化率分析。
一、复合函数定义
复合函数是指一个函数作为另一个函数的输入，即：
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则 $ y = f(g(x)) $ 称为复合函数，记作 $ y = f \circ g(x) $。
二、复合函数求导法则（链式法则）
链式法则是求复合函数导数的核心方法，其公式如下：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
也就是说，先对最外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
三、常见复合函数类型及求导示例
| 复合函数形式 | 内层函数 $ u $ | 外层函数 $ f(u) $ | 导数 $ \frac{dy}{dx} $ |
| $ y = \sin(3x) $ | $ u = 3x $ | $ \sin(u) $ | $ \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $ |
| $ y = e^{2x} $ | $ u = 2x $ | $ e^u $ | $ e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x} $ |
| $ y = (x^2 + 1)^3 $ | $ u = x^2 + 1 $ | $ u^3 $ | $ 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 $ |
| $ y = \ln(\sqrt{x}) $ | $ u = \sqrt{x} $ | $ \ln(u) $ | $ \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2x} $ |
| $ y = \tan(5x - 1) $ | $ u = 5x - 1 $ | $ \tan(u) $ | $ \sec^2(5x - 1) \cdot 5 = 5\sec^2(5x - 1) $ |
四、注意事项
1. 分清内外层函数：正确识别哪个是内层函数，哪个是外层函数是关键。
2. 逐层求导：对于多层复合函数，应从外到内逐层应用链式法则。
3. 注意符号和系数：尤其是当内层函数含有常数或变量时，不能忽略乘数。
五、总结
复合函数的求导本质上是对函数结构的层层分解，利用链式法则将复杂问题简化。掌握这一方法不仅有助于提升解题效率，还能增强对函数变化规律的理解。通过练习不同类型的复合函数，可以进一步巩固这一知识点，并灵活应用于实际问题中。
如需进一步了解隐函数求导或高阶导数，可继续探讨相关主题。
