在数学中，三角函数是研究角与边之间关系的重要工具。而当我们需要计算一个特定角度（如 105°）的余弦值时，可以采用多种方法来解决这一问题。本文将详细介绍如何通过已知的三角函数值和公式来准确求解 cos105°。
方法一：利用加法公式
我们知道，任意两个角的和或差都可以通过加法公式进行展开。具体到 cos105°，我们可以将其拆分为两个已知角度之和：
\[
\cos105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ)
\]
根据余弦的加法公式：
\[
\cos(a+b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b
\]
代入 \(a=60^\circ\) 和 \(b=45^\circ\)，并结合特殊角的三角函数值：
\[
\cos60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos45^\circ = \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
于是：
\[
\cos105^\circ = \cos60^\circ \cdot \cos45^\circ - \sin60^\circ \cdot \sin45^\circ
\]
\[
\cos105^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
\cos105^\circ = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}
\]
\[
\cos105^\circ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
\]
方法二：利用减法公式
另一种思路是将 105° 表示为 180° 减去某个角度：
\[
\cos105^\circ = \cos(180^\circ - 75^\circ)
\]
根据余弦的减法公式：
\[
\cos(180^\circ - x) = -\cos x
\]
因此：
\[
\cos105^\circ = -\cos75^\circ
\]
接下来，我们同样利用加法公式计算 \(\cos75^\circ\)：
\[
\cos75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ)
\]
\[
\cos75^\circ = \cos45^\circ \cdot \cos30^\circ - \sin45^\circ \cdot \sin30^\circ
\]
代入已知值：
\[
\cos75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
\cos75^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}
\]
\[
\cos75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]
因此：
\[
\cos105^\circ = -\cos75^\circ = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]
\[
\cos105^\circ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
\]
总结
无论使用哪种方法，最终结果都是一致的：
\[
\boxed{\cos105^\circ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}}
\]
这种方法不仅适用于计算 cos105°，还可以推广到其他非特殊角的余弦值计算中，只需灵活运用三角函数的基本公式即可。
