【复数的除法】在数学中，复数是形如 $ a + bi $ 的数，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。其中，复数的除法相对复杂，需要通过特定的方法来简化运算。
复数的除法通常指的是将一个复数除以另一个非零复数。其核心思想是将分母中的虚数部分“有理化”，即通过乘以共轭复数的方式，使分母变为实数，从而得到结果。
一、复数除法的基本步骤
1. 写出两个复数：设被除数为 $ z_1 = a + bi $，除数为 $ z_2 = c + di $（其中 $ c $ 和 $ d $ 不同时为0）。
2. 找到除数的共轭复数：$ \overline{z_2} = c - di $。
3. 分子和分母同时乘以除数的共轭复数：
$$
\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)}
$$
4. 计算分子和分母：
- 分子展开后为 $ (ac + bd) + (bc - ad)i $
- 分母为 $ c^2 + d^2 $（因为 $ (c + di)(c - di) = c^2 + d^2 $）
5. 将结果写成标准形式：$ \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i $
二、总结与示例
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设定两个复数 $ z_1 = a + bi $，$ z_2 = c + di $ |
| 2 | 找到 $ z_2 $ 的共轭复数 $ \overline{z_2} = c - di $ |
| 3 | 分子和分母同乘以 $ \overline{z_2} $ |
| 4 | 展开并整理分子和分母 |
| 5 | 将结果表示为 $ x + yi $ 的形式 |
三、举例说明
例题：计算 $ \frac{3 + 4i}{1 + 2i} $
解法：
1. 共轭复数为 $ 1 - 2i $
2. 分子：$ (3 + 4i)(1 - 2i) = 3(1) + 3(-2i) + 4i(1) + 4i(-2i) = 3 - 6i + 4i - 8i^2 $
3. 计算得：$ 3 - 2i + 8 = 11 - 2i $
4. 分母：$ (1 + 2i)(1 - 2i) = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 $
5. 结果：$ \frac{11 - 2i}{5} = \frac{11}{5} - \frac{2}{5}i $
四、总结
复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现，将分母变为实数，从而简化运算。掌握这一方法有助于更深入地理解复数的代数性质，并在工程、物理等实际问题中广泛应用。
