【分部积分公式是什么】在微积分中，分部积分法是一种重要的积分技巧，常用于求解两个函数乘积的积分。它与微分中的乘积法则相对应，是积分运算中的一种基本方法。分部积分法尤其适用于被积函数为两个不同类型的函数相乘的情况，如多项式与指数函数、多项式与三角函数、对数函数与多项式等。
一、分部积分公式的定义
分部积分法的公式如下：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中：
- $ u $ 是一个可微函数；
- $ dv $ 是另一个可微函数的微分；
- $ du $ 是 $ u $ 的微分；
- $ v $ 是 $ dv $ 的原函数（即 $ v = \int dv $）。
这个公式的核心思想是将一个复杂的积分转化为另一个可能更容易计算的积分。
二、使用分部积分的适用情况
| 情况 | 示例 | 是否适用 |
| 被积函数为多项式与指数函数的乘积 | $ \int x e^x dx $ | ✅ |
| 被积函数为多项式与三角函数的乘积 | $ \int x \sin x dx $ | ✅ |
| 被积函数为对数函数与多项式的乘积 | $ \int \ln x \, dx $ | ✅ |
| 被积函数为反三角函数与多项式的乘积 | $ \int \arctan x \, dx $ | ✅ |
| 被积函数为两个相同类型函数的乘积 | $ \int \sin x \cos x dx $ | ❌ |
> 注意：并非所有乘积形式都适合用分部积分法，需根据具体情况判断。
三、分部积分的步骤总结
1. 选择合适的 $ u $ 和 $ dv $
通常选择 $ u $ 为容易求导且其导数会“简化”的函数，$ dv $ 则为容易积分的函数。
2. 计算 $ du $ 和 $ v $
对 $ u $ 求导得到 $ du $，对 $ dv $ 积分得到 $ v $。
3. 代入公式进行计算
将 $ u $、$ v $、$ du $ 代入公式 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ 进行计算。
4. 检查是否需要再次使用分部积分
如果新出现的积分仍然复杂，可能需要重复上述步骤。
四、常见应用举例
| 积分表达式 | 分部积分过程 | 结果 |
| $ \int x e^x dx $ | $ u = x, dv = e^x dx $ → $ du = dx, v = e^x $ | $ x e^x - e^x + C $ |
| $ \int x \cos x dx $ | $ u = x, dv = \cos x dx $ → $ du = dx, v = \sin x $ | $ x \sin x + \cos x + C $ |
| $ \int \ln x dx $ | $ u = \ln x, dv = dx $ → $ du = \frac{1}{x} dx, v = x $ | $ x \ln x - x + C $ |
五、小结
分部积分法是微积分中一种非常实用的技巧，尤其适用于处理乘积形式的积分。掌握好如何选择 $ u $ 和 $ dv $，以及如何合理地应用公式，能够大大提升解决复杂积分问题的能力。通过反复练习和实际应用，可以更加熟练地运用这一方法。
