基本公式

1. 平方关系：

- $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

- $1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$

- $1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha$

2. 和差角公式：

- $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$

- $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

- $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$

3. 倍角公式：

- $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$

- $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

- $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$

4. 半角公式：

- $\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$

- $\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$

- $\tan\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$

公式应用示例

例题1：化简表达式

化简$\frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)}$。

解：利用倍角公式，$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ 和 $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$，可得：

$$

\frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{1 + (2\cos^2(x) - 1)} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2\cos^2(x)} = \tan(x)

$$

例题2：证明恒等式

证明$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$。

解：根据定义，$\sin(x)$ 和 $\cos(x)$ 分别表示单位圆上点的纵坐标和横坐标。由勾股定理可知，任意一点到原点的距离为1，因此$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$。

通过以上公式及应用示例可以看出，熟练掌握这些基本的三角恒等变换公式对于解决各类三角函数问题是至关重要的。希望同学们在学习过程中能够多加练习，灵活运用这些公式，提升解题能力。