【两个重要极限公式】在高等数学中，极限是研究函数变化趋势的重要工具。其中有两个极限公式被广泛使用，并且在微积分的许多问题中具有基础性作用。它们分别是：
1. 第一个重要极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$
2. 第二个重要极限：
$$
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e
$$
这两个极限在求解复杂函数极限、导数计算以及级数分析中起到了关键作用。以下是对这两个重要极限的总结与对比。
一、两个重要极限公式总结
| 项目 | 第一个重要极限 | 第二个重要极限 |
| 公式 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ |
| 极限变量 | $x \to 0$ | $x \to \infty$ |
| 函数形式 | $\frac{\sin x}{x}$ | $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ |
| 结果值 | 1 | $e$（自然对数的底，约2.71828） |
| 应用场景 | 三角函数相关极限、导数推导 | 指数增长模型、连续复利计算 |
| 特点 | 用于处理$\frac{0}{0}$型未定式 | 用于处理$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$型极限 |
二、应用举例
1. 第一个重要极限的应用
- 例1：计算 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$
解：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} = 3 \cdot 1 = 3
$$
- 例2：计算 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$
解：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1
$$
2. 第二个重要极限的应用
- 例1：计算 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2x}\right)^x$
解：
$$
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{2x}\right)^{2x}\right]^{1/2} = e^{1/2} = \sqrt{e}
$$
- 例2：计算 $\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^x$
解：
$$
\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{-1}{x}\right)^x\right] = e^{-1}
$$
三、注意事项
- 在使用这些极限时，要注意变量的趋近方向（如$x \to 0$或$x \to \infty$），否则可能导致错误。
- 这两个极限常用于化简复杂的极限表达式，尤其是当直接代入导致未定式时。
- 实际应用中，可以通过替换变量或利用等价无穷小来灵活运用这两个极限。
四、总结
“两个重要极限公式”是微积分中的基础内容，不仅在理论上有重要意义，在实际计算中也极具实用性。掌握它们有助于更高效地解决各类极限问题，为后续学习导数、积分和级数打下坚实的基础。
