【三角函数的公式】三角函数是数学中非常重要的一部分，广泛应用于几何、物理、工程等领域。它主要包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等基本函数，以及它们的倒数函数如余切（cot）、正割（sec）、余割（sec）。本文将对常见的三角函数公式进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本三角函数定义
在直角三角形中，设θ为一个锐角，则：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sinθ） | 对边 / 斜边 |
| 余弦（cosθ） | 邻边 / 斜边 |
| 正切（tanθ） | 对边 / 邻边 |
| 余切（cotθ） | 邻边 / 对边 |
| 正割（secθ） | 斜边 / 邻边 |
| 余割（cscθ） | 斜边 / 对边 |
二、三角恒等式
以下是一些常用的三角恒等式，适用于任意角度θ：
| 公式 | 表达式 |
| 基本恒等式 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 正切与余切关系 | tanθ = sinθ / cosθ；cotθ = cosθ / sinθ |
| 正割与余割关系 | secθ = 1 / cosθ；cscθ = 1 / sinθ |
| 倒数关系 | tanθ = 1 / cotθ；secθ = 1 / cosθ；cscθ = 1 / sinθ |
三、诱导公式
诱导公式用于将任意角θ转化为0°~360°之间的角，便于计算。
| 角度变换 | 公式 |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| tan(π - θ) | -tanθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| tan(π + θ) | tanθ |
| sin(-θ) | -sinθ |
| cos(-θ) | cosθ |
| tan(-θ) | -tanθ |
四、和差角公式
这些公式可用于计算两个角的和或差的三角函数值。
| 公式 | 表达式 |
| sin(A ± B) | sinA cosB ± cosA sinB |
| cos(A ± B) | cosA cosB ∓ sinA sinB |
| tan(A ± B) | (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
用于计算2θ、3θ等角度的三角函数值。
| 公式 | 表达式 |
| sin2θ | 2sinθ cosθ |
| cos2θ | cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| tan2θ | 2tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
用于计算θ/2的三角函数值。
| 公式 | 表达式 |
| sin(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/2] |
| cos(θ/2) | ±√[(1 + cosθ)/2] |
| tan(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = sinθ / (1 + cosθ) |
七、积化和差公式
将乘积形式转换为和或差的形式。
| 公式 | 表达式 |
| sinA cosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinA sinB | [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
八、和差化积公式
将和或差转换为乘积形式。
| 公式 | 表达式 |
| sinA + sinB | 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
通过以上表格和文字说明，我们可以清晰地掌握三角函数的基本公式及其应用方式。掌握这些公式有助于在实际问题中快速求解三角函数的相关问题，提升数学分析能力。
