【求导法则公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握各种求导法则对于理解和应用微积分具有重要意义。以下是对常见求导法则的总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本求导法则
1. 常数法则
若 $ f(x) = c $（$ c $ 为常数），则 $ f'(x) = 0 $
2. 幂函数法则
若 $ f(x) = x^n $，则 $ f'(x) = n \cdot x^{n-1} $
3. 常数倍法则
若 $ f(x) = c \cdot g(x) $，则 $ f'(x) = c \cdot g'(x) $
4. 和差法则
若 $ f(x) = g(x) \pm h(x) $，则 $ f'(x) = g'(x) \pm h'(x) $
5. 乘积法则
若 $ f(x) = g(x) \cdot h(x) $，则 $ f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) $
6. 商数法则
若 $ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $，则
$$
f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}
$$
7. 链式法则
若 $ f(x) = g(h(x)) $，则 $ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $
8. 反函数求导法则
若 $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = f^{-1}(y) $，则
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad (\text{当 } \frac{dy}{dx} \neq 0)
$$
二、常见函数的导数公式
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = c $ | $ 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ n \cdot x^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ |
三、综合应用举例
例如：
设 $ f(x) = (x^2 + 1)\sin x $，求导：
使用乘积法则：
$$
f'(x) = (x^2 + 1)' \cdot \sin x + (x^2 + 1) \cdot (\sin x)'
= 2x \cdot \sin x + (x^2 + 1) \cdot \cos x
$$
四、总结
求导法则是微积分中的基础内容，熟练掌握这些法则有助于解决复杂的数学问题。通过结合基本法则与常见函数的导数公式，可以高效地进行函数求导操作。在实际应用中，灵活运用这些规则是关键。
