在概率论与数理统计中，负二项分布是一个重要的离散概率分布。然而，关于其定义，存在两种不同的表述方式，这往往让初学者感到困惑。本文将详细介绍这两种定义，并探讨它们之间的联系。

定义一：基于成功次数的负二项分布

第一种定义通常出现在教科书或学术文献中，它描述的是为了达到预定的成功次数所需的试验次数。具体来说，如果每次试验成功的概率为 \( p \)，失败的概率为 \( 1-p \)，那么负二项分布可以表示为：

\[ P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r} \]

其中：

- \( X \) 表示达到 \( r \) 次成功所需的试验次数；

- \( k \) 是试验次数；

- \( r \) 是所需的成功次数。

这种定义强调了试验次数 \( k \) 和成功次数 \( r \) 的关系，适用于需要明确知道试验结束条件的情景。

定义二：基于失败次数的负二项分布

第二种定义则关注的是为了获得预定的成功次数所需的失败次数。在这种情况下，负二项分布可以重新表达为：

\[ P(Y = y) = \binom{y+r-1}{y} p^r (1-p)^y \]

这里：

- \( Y \) 表示为了得到 \( r \) 次成功所经历的失败次数；

- \( y \) 是失败次数。

这种形式更侧重于分析失败对整体过程的影响，常用于质量控制等领域。

两种定义的关系

尽管这两种定义看似不同，但实际上它们本质上是等价的。通过简单的变量替换即可相互转换。例如，若我们将第一种定义中的 \( k \) 替换为 \( y + r \)，就可以得到第二种定义的形式。因此，在实际应用中，选择哪种定义主要取决于具体问题的需求和背景。

总结而言，负二项分布在不同领域有着广泛的应用，理解它的两种常见定义有助于更好地解决实际问题。无论是着眼于成功次数还是失败次数，这两种定义都提供了强大的工具来帮助我们理解和预测随机事件的发生模式。希望本文能够帮助读者厘清这两个概念之间的区别与联系，从而更加灵活地运用负二项分布在各自的领域内解决问题。